Моменты инерции простейших сечений

Для простейших сечений моменты инерции определяют методом непосредственного интегрирования. Рассмотрим некоторые примеры решения задач по определению моментов инерции простейших фигур:

а) Прямоугольник с размерами b h (рис. 2.5). Для решения задачи воспользуемся формулами (2.5). Выберем вспомогательную ось . На расстоянии у от оси х₁ выделим элементарную площадку dF=bdy. Подставляя площадь элементарной площадки dF в формулу (2.5), определим осевой момент инерции относительно оси х₁:

Теперь найдем момент инерции относительно оси х, применяя первую из формул (2.13):

(2.14)

Аналогично можно найти осевой момент инерции относительно оси у:

б) Треугольник с основанием b, высотой h (рис. 2.3). Выделенную элементарную площадь dF подставим в формулу (2.5). Получаем значение момента инерции относительно оси х₁:

.

Момент инерции относительно оси х, параллельной данной оси х₁, найдем по первой формуле (2.13):

(2.14*)

в) Круградиусом r (диаметром d) (рис. 2.6). Найдем сначала полярный (2.7) момент инерции по формуле:

(2.15)

г) Полукруг радиусом r =d/2 (рис.2.7). Приведем без вывода формулы для определения координаты центра тяжести у_с полукруга и вычисления моментов инерции относительно главных центральных осей х и у

; (2.16)

(2.17)

;

Обучающемуся рекомендуется получить приведенные ответы решений самостоятельно, пользуясь (рис. 2.7).

Зависимость между моментами инерции при повороте осей координат

Пусть известны значения моментов инерции J_x, J_y, J_xy, относительно системы координат х и у. (рис.2.8). Повернем оси х и у в новое положение х₁ и у₁ на угол α против часовой стрелки относительно общего начала.

Требуется определить значения моментов инерции относительно новой системы координат х₁ и у₁. Как видно по рис 2.8, зависимости между координатами центра тяжести элементарной площадки dF для новой и исходной систем координатных осей, будут такими.

(а)

Выражения (2.5) и (2.6) для моментов инерции относительно осей х_{1 ,} у₁ можно представить таким образом

_:

.

После раскрытия скобок и учитывая, что интеграл суммы равен сумме интегралов, также зависимости (2.5) и (2.6) относительно исходных осей, получаем:

(2.18)

(2.19)

(2.20)

Пользуясь формулами (2.18), (2.19), 2.20), можно определять значения моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей х₁ и у₁, повернутых относительно осей х и у на угол α в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.

Складывая (2.18) и (2.19), получаем

, (б)

т.е. сумма осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей есть величина постоянная.