Экстремум функции нескольких переменных

Определение. Пусть функция определена в некоторой области , и - произвольная точка этой области. Если для всех точек из некоторой окрестности точки выполняется неравенство:

то точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции в области .

Определение.Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками экстремума этой функции.

Теорема.(Необходимые условия экстремума). Пусть функция непрерывна в некоторой области вместе со своими первыми частными производными. Если во внутренней точке области функция имеет экстремум, то в этой точке обращаются в ноль все её частные производные первого порядка:

.

Эта точка называется критической точкой функции в области .

Теорема. (Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1) Если , то в точке функция имеет экстремум, если - максимум, если - минимум.

2) Если , то в точке функция ) не имеет экстремума

В случае если , вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Условный экстремум

Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию , не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

, которое называется уравнением связи.

В этом случае из переменных х и у только одна является независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи. Тогда становится функцией одного переменного. Следовательно,

В точках экстремума:

(2.1)

Кроме того:

(2.2)

Умножим равенство (2.2) на число l и сложим с равенством (2.1).

,

.

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение называется функцией Лагранжа.

Пример. Найти экстремум функции , если уравнение связи: . Имеем

;

Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.