Общее уравнение прямой на плоскости

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Это уравнение называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных и возможны следующие частные случаи:

- – прямая проходит через начало координат;

- - прямая параллельна оси ;

- – прямая параллельна оси ;

- – прямая совпадает с осью ;

- – прямая совпадает с осью .

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и нормальному вектору

В декартовой прямоугольной системе координат вектор с координатами перпендикулярен прямой, заданной уравнением Он называется нормальным вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Для и уравнение прямой примет вид: . Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем . Следовательно . Искомое уравнение запишется в виде .

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой привести к виду:

,

и обозначить т.е. , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Определение. Каждый ненулевой вектор , компоненты которого удовлетворяют условию называется направляющим вектором прямой .

Пример.Найти уравнение прямой с направляющим вектором и проходящей через точку .

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: . В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

т.е. .

Тогда уравнение прямой имеет вид: , или .

при получаем , т.е. искомое уравнение имеет вид

Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки

Рассмотрим прямую в пространстве, проходящую через заданную точку , с направляющим вектором :

.

Пусть - произвольная точка этой прямой. Тогда выполняются равенства:

,

Решая совместно эти уравнения, получим:

-уравнение прямой, проходящей через две точки и на плоскости.

Замечание. Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки и . Имеем

.

7. Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой то, разделив на , получим: или , где .

Геометрический смысл коэффициентов: коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой . Найти уравнение этой прямой в отрезках.

,