Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости

Системы координат на плоскости. Основные приложения метода координат на плоскости. Преобразование системы координат. [3, §9]. Уравнения прямой линии на плоскости. Основные задачи о прямой линии. [3, §10]. Линии второго порядка на плоскости. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Общее уравнение линий второго порядка. [3, §11].

Пример 6. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ; 4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ; 5) уравнение медианы ; 6) точку пересечения высот треугольника . Сделать чертеж.

Решение: Сделаем чертеж:

1. Расстояние между точками и находится по формуле .

В данном случае .

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и имеет вид .

Следовательно, для прямой имеем – общее уравнение прямой .

Аналогично, для прямой имеем – общее уравнение прямой .

Найдем угловые коэффициенты прямых и . Для этого перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом .

Для прямой имеем , то есть – угловой коэффициент прямой . Для прямой получим , значит – угловой коэффициент прямой .

3. Учитывая, что угол острый, воспользуемся формулой .

Имеем , откуда

4. Для нахождения уравнения высоты воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом : .

В данном случае ; (координаты точки ). Так как прямые и перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением , откуда . Значит, уравнение высоты будет иметь вид: или .

Для нахождения длины высоты воспользуемся формулой расстояния от заданной точки до прямой : .

В данном случае , (координаты точки ); ; ; (коэффициенты из общего уравнения прямой ). Следовательно, .

5. Уравнение медианы составим, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Так как – медиана, то координаты точки найдем как координаты середины отрезка : ; , то есть . Тогда уравнение медианы будет иметь вид: или .

6. Для нахождения координат точки пересечения высот треугольника найдем уравнение высоты .

Уравнение высоты находим по формуле . По условию , . Так как прямые и перпендикулярны, то ; . Значит, уравнение высоты будет иметь вид или .

Составляем и решаем систему уравнений: Значит, .

Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой , если равно эксцентриситету эллипса .

Решение: Эксцентриситет эллипса равен , где .

В данном случае эллипс задан уравнением или , то есть . Значит, эксцентриситет эллипса равен и искомая прямая проходит через точку .

Так как эта прямая параллельна прямой , то их угловые коэффициенты равны. Так как , то угловой коэффициент искомой прямой .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом , имеет вид: . Значит, искомое уравнение: или .