Алгоритм решения краевой задачи второго типа

1. Задаем исходные данные: t₁ , шаг интегрирования, шаг вывода результатов, .

2. Задаем произвольное значение .

3. Подбираем значение , которое даст расчетное значение , близкое к требуемому с точностью ,(например =0.1). Для этого интегрируем численным методом Рунге-Кутта дифференциальные уравнения (5.13), (5.14), (5.15) до момента времени t_1.

4. В результате интегрирования получаем и вычисляем │ - │. Если разница меньше , то переходим на п.5, в обратном случае проверяем, превысило или нет расчетное значение требуемое . Если > , то за новое принимаем , увеличенное в 1,1 раза. Иначе - в качестве берем значение, уменьшенное в 1, 25 раза. Затем повторяем изложенные выше действия.

5. Подбираем значение , которое даст расчетное значение , близкое к требуемому с точностью ,(например =0.0001) . Для этого применим метод половинного деления (дихотомии). В соответствии с ним пересчитываем по формуле , где в качестве и принимаем последние значения , в соответствии с которыми были получены больше требуемого ( ) и меньше ( ). После повторно интегрируем дифференциальные уравнения (5.13)- (5.15). В результате интегрирования получаем и вычисляем │ - │. Если разница меньше , то поставленная краевая задача решена, прекращаем вычисления, иначе повторяем изложенные выше действия.

7. Текст программы.

Смотри приложение №5.

Задание.

1. Студентам требуется, используя данный в приложение №5 текст программы, самостоятельно подобрать исходные данные для решения первой задачи: t_{0 ,}t₁ , шаг интегрирования, шаг вывода результатов, . При задании коэффициентов

находящихся вне области сходимости, краевая задача не будет решена.

2. Студентам требуется, используя данный в приложение №5 текст программы, самостоятельно подобрать исходные данные для решения второй задачи: t_{0 ,}t₁ , шаг интегрирования, шаг вывода результатов, . При задании коэффициентов

находящихся вне области сходимости, краевая задача не будет решена.

Лабораторная работа №6

Формирование оптимального управления для решения различных задач на максимальное быстродействие.

Цель работы:знакомство с решением различных задач на максимальное быстродействие при выборе оптимального управления в соответствие с принципом максимума Понтрягина

Введение. Существуют различные виды задач на максимальное быстродействие. Их решение заключается в поиске такой управляющей функции и соответствующей траектории , удовлетворяющей системе дифференциальных уравнений, на которых функционал ( время) достигает минимального значения. В зависимости от исходной системы дифференциальных уравнений, применяют тот или иной метод.

Постановка задачи.

В системе

(6.1)

требуется найти управление, переводящее систему из одного (заданного) состояния в другое (конечное) состояние за минимальное время , т.е. в данном случае

Рассмотрим решение этой задачи на основе принципа максимума. Для определенности положим .

В соответствии с принципом максимума функционал качества необходимо представить в форме Майера: .

Для этого введем переменную с помощью уравнения

Тогда .

Введем функцию , где множители Лагранжа удовлетворяют уравнению с неизвестными начальными и конечными значениями.

Из структуры H видно, что

.

Тогда дальнейшее исследование функции H сводится к исследованию .