Методы вычислительного эксперимента в задачах оптимизации

Численные эксперименты включают в себя:

- расчёт НДС конструкции по МКЭ при заданных векторах параметров , определяемых матрицей планирования экспериментов [2, 201, 217]

, ; (3.42)

- нахождение расчётных значений показаний датчиков СИ

; (3.43)

- расчёт значений целевой функции в точке “плана”

(3.44)

и формирование вектора теоретических значений целевой функции

(3.45)

“Оптимальными” будем считать значения упругих характеристик, обеспечивающие определённым образом наилучшее рассогласование расчётных и действительных показаний СИ и доставляющие минимум целевой функции (3.44).

Матрица весовых коэффициентов критерия (3.44) является своеобразным усилителем сигналов СИ, обеспечивающим возможность равноценного учета сигналов различной мощности. Назначение коэффициентов матрицы производим на основе информации о расчётных показаниях различных каналов СИ, полученной при выполнении предварительных расчётов конструкции

, (3.46)

где — “показания” СИ в - ом численном эксперименте.

Область возможных значений упругих характеристик (варьируемых параметров) назначаем на основе информации об упругих константах КМ, полученной при испытании образцов, анализе свойств аналогов исследуемого материала

, (3.47)

где – соответственно нижние и верхние оценки параметров .

При проведении серии численных экспериментов:

а) назначаем область (3.47) варьируемых параметров и выбираем модель целевой функции (критерия адекватности), например, в виде полинома

, (3.48)

где , — коэффициенты, подлежащие определению;

(3.49)

где − компоненты векторов , соответственно безразмерных и размерных значений упругих характеристик;

б) формируем план численных экспериментов [2, 201, 217]

, (3.50)

где каждый вектор

(3.51)

соответствует некоторой точке пространства переменных

Число точек плана (3.50) должно быть равно или превышать число неизвестных коэффициентов ;

в) определяем коэффициенты полинома (3.48), представляемого в виде

(3.52)

где векторы и имеют вид:

; (3.53)

(3.54)

Формируем матрицу , составленную из векторов (3.53), отвечающих всем точкам плана (3.50)

(3.55)

и вектор модельных значений целевой функции (3.48)

(3.56)

Тогда

(3.57)

По способу наименьших квадратов находим

(3.58)

г) находим значения , доставляющих минимум модели (3.48) целевой функции (3.44), см. например, программы методов случайного поиска [217], Бокса-Уилсона [2].

Составление модели (3.48) целесообразно по следующим соображениям:

— реализация оптимального плана численных экспериментов сокращает число расчетов конструкции по МКЭ;

— модель позволяет, в конечном счете, выйти на глобальный минимум многоэкстремальной целевой функции;

— наличие аналитического выражения (3.48) позволяет ранжировать варьируемые параметры и оценивать влияние погрешностей в определении упругих характеристик на точность расчетов НДС изделия.

Для оценки суммарной погрешности определения компонент вектора рассмотрим цепочку соотношений:

; (3.59)

;

;

. (3.60)

Вычислим по выражению (3.59) значения

; (3.61)

(3.62)

Здесь — оценки погрешностей физического и численных экспериментов.

По формулам (3.60) и (3.62) найдём вариации вектора и . Возможной погрешностью найденных безразмерных значений упругих характеристик считаем сумму

.

Отметим, что рассмотренный метод легко обобщается на случай, когда в вектор включаются не только упругие, но и теплофизические характеристики материала.

Принципиальная блок-схема алгоритма приведена на рисунке

Рисунок 1 – Принципиальная блок-схема алгоритма идентификации параметров упругости

Полиномиальная аппроксимация вида (3.48) дает высокую точность при малом размахе варьирования факторов вычислительного эксперимента. Однако при большом размахе её использование может привести к ухудшению точности, что приводит к росту числа итераций алгоритма, представленного на рисунке , поскольку он требует последовательного уменьшения размахов до достижения нужной точности аппроксимации. Каждое уменьшение размаха связано с повторным вычислением расширенной план-матрицы, т.е. вычислением откликов по конечно-элементной модели.

Поэтому представляется необходимым рассмотреть другие варианты аппроксимации откликов.

Рассмотрим уравнения равновесия (3.36) и проанализируем качественную зависимость отклика от варьируемых факторов, временно приняв, что варьируемые параметры, а также параметры воздействия и параметры отклика являются комплексными числами:

. (5)

Тогда зависимость отклика от каждого из факторов может быть представлена рядом Лорана:

, (6)

где - корень характеристического уравнения:

. (7)

В случае простого корня уравнения (7) лорановская часть разложения (6) содержит одно слагаемое. В работе [Каледин] показано, что при вариации одного параметра добавление этого слагаемого к функции отклика позволяет построить быстро сходящийся ряд. Наименьший корень характеристического уравнения (6), а также коэффициент лорановской части разложения (6), могут быть эффективно найдены применением степенного метода решения задачи собственных чисел и векторов [Каледин].

Проанализируем, далее, уравнение (5) с точки зрения матричной алгебры. Если матрица коэффициентов обратима, то формально можно представить решение в виде:

, (8)

причем определитель матрицы коэффициентов является полиномом степени не выше n от каждого из факторов pi и содержит множители вида , где k – кратность корня, а присоединенная матрица составлена из полиномов степени, на единицу меньшей. Таким образом, каждая компонента функции отклика является дробно-рациональной функцией от варьируемых факторов. На основании этого можно предложить следующее представление функции отклика:

, (16)

где

Корни характеристического уравнения в ряде практически важных случаев могут быть найдены аналитически.

Рассмотрим задачу идентификации параметров упругости трансверсально изотропного материала. Исходя из анализа структуры матрицы жесткости (), можно заключить, что она вырождена при вырожденности матрицы упругости материала E, и корень характеристического уравнения (7) совпадает с корнем уравнения

. (9)

Выразим матрицу упругости через варьируемые факторы – модули упругости и коэффициенты Пуассона:

, (10)

где обозначено:

, ,

, .

Матрица (10) вырождается при обращении в нуль одного из модулей упругости, а обратная к ней матрица податливости материала – при выполнении одного из условий: или .

Итак, варьирование каждого из модулей упругости не изменяет корней характеристического уравнения (9). Взаимное влияние проявляется только при варьировании коэффициентов Пуассона.

Тогда базисные функции для аппроксимации отклика могут быть выбраны следующими:

, ,

, , , .

Окончательно, аппроксимация отклика дробно-рациональными функциями примет вид:

(16)

Здесь Z_i – постоянные матричные коэффициенты.

Аналогично могут быть построены базисные функции для дробно-рациональной аппроксимации отклика в других случаях.

Коэффициенты дробно-рациональной аппроксимации могут быть найдены с помощью факторного вычислительного эксперимента. Особенностью этого подхода является то, что вместо непосредственного варьирования модулей упругости и коэффициентов Пуассона необходимо варьировать базисные функции. Поэтому значения параметров упругости должны вычисляться дополнительно, для чего требуется выразить их через базисные функции из соотношений (11).