Предел функции в точке

Учреждение образования «Белорусская государственная

Сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ

Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Предел функции. Производная

Понятие функции

Пусть задано множество изменения переменной величины x. Если каждому значению величины соответствует одно определённое значение величины y, то говорят, что на множестве D задана функция , т.е. величина y есть функция величины x.

Величина x называется аргументом функции у, множество D – областью определения функции. Так как значение величины можно брать произвольно, а значение величины у зависит от выбранного значения х, то х называется независимой переменной, а у – зависимой переменной. Множество значений, принимаемых функцией у, называется областью значений функции.

Графиком функции называется множество всех точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции.

Значение функции при называется частным значением функции в точке и обозначается .

Пример 1. Вычислить значение функции при .

Решение. Частное значение данной функции в точке равно .

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Так как , т.е. , то .

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Выражение под знаком корня квадратного должно быть неотрицательным, т.е. . Решим это неравенство методом интервалов: ,

Таким образом, .

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Для данной функции т.е. и . Поэтому .

Пусть функция определена на множестве , а функция – на множестве , причём все значения функции . Тогда переменная у является функцией от х: . В этом случае у называется сложной функцией, а переменная u – промежуточным аргументом. Например, и . Тогда является сложной функцией.

Предел функции в точке

Число А называется пределом функции при , если для всех значений х, достаточно близких к , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А. Записывается это следующим образом:

или при .

В определении предела может быть любым конечным числом или же обозначать и .

При вычислении пределов пользуются следующими правилами:

1) предел постоянной величины равен самой величине, т.е.

;

2) предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций при условии, что пределы существуют, т.е. для двух функций справедливо равенство

;

3) предел произведения конечного числа функций равен произведению их пределов при условии, что эти пределы существуют, т.е. для двух функций справедливо равенство

;

4) если n – натуральное число, то

;

5) постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

;

6) предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

, если .

При вычислении пределов функции иногда приходится пользоваться понятием односторонних пределов. Пусть функция определена на множестве и пусть . Будем рассматривать такие значения х, что . Это означает, что , оставаясь всё время слева от . Если при этом существует предел функции при , то он называется левым пределом этой функции в точке или при и обозначается .

Пусть теперь , оставаясь всё время справа от , т.е. оставаясь больше . Если при этом существует предел функции то он называется правым пределом этой функции в точке или при и обозначается .

Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции в точке. Если односторонние пределы функции в точке существуют и равны между собой, то функция имеет тот же предел в этой точке: .

Если односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует.

Пример 5. Найти предел функции в точке x=6.

Решение. Найдём односторонние пределы функции в данной точке. Если , то и Если x>6, то и Так как односторонние пределы в точке x=6 равны между собой, то предел функции в этой точке существует и равен 9.