Прямая линия в пространстве

С любой прямой в пространстве связан вектор, который лежит на данной прямой или на ей параллельной. Такой вектор называется направляющим вектором прямой и обозначается .

Параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку , называются уравнения

где l, m, n – координаты направляющего вектора, t - параметр.

Исключим из этих уравнений параметр t :

На основании этого можно записать

.

Полученные уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Пусть заданы точки и . Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

.

Пример 12. Составить параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. По условию , , , , , . Подставим в параметрические и канонические уравнения прямой и получим: и .

Пример 13. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки и .

Решение. Подставим координаты заданных точек в уравнение прямой, проходящей через эти точки: или . Последние уравнения являются каноническими уравнениями прямой, где , , , , , . Подставим в параметрические уравнения прямой и получим искомые уравнения:

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, нормальные векторы которых не коллинеарны:

Пример 14. Найти канонические уравнения прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостей

Решение. Разрешим данную систему относительно x и y. Первое уравнение умножим на ( 2): Сложим со вторым и получим: или . Подставим в первое уравнение: или . Полученные равенства разрешим относительно z: и . Тогда можно записать . Получены канонические уравнения прямой, являющейся линией пересечения двух данных плоскостей.

Пусть даны две прямые

и ,

где и - их направляющие векторы. Угол между этими прямыми определяется по формуле

.

Прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, т.е. . Эти соотношения являются условием параллельности двух прямых.

Две прямые взаимно перпендикулярны, если их направляющие векторы и ортогональны. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. . Это равенство выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Пример 15. Даны пары прямых:

а) и ;

б) и ;

в) и .

Определить, какие из этих пар прямых параллельны, а какие – взаимно перпендикулярны.

Решение. а) Направляющие векторы прямых и . Координаты векторов пропорциональны: . Так как условие параллельности прямых выполняется, то прямые параллельны.

б) Направляющими векторами прямых являются и . Их скалярное произведение равно нулю: . В данном случае выполняется условие перпендикулярности прямых, т.е. прямые взаимно перпендикулярны.

в) Координаты направляющих векторов и прямых не пропорциональны и скалярное произведение этих векторов не равно нулю, т.е. прямые не параллельны и не перпендикулярны. Найдём угол между прямыми, который равен углу между их направляющими векторами:

.

Следовательно, .