Линейные операции над векторами

Сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Пусть даны векторы и . Суммой векторов и называется вектор

,

т.е. при сложении векторов их одноименные координаты складываются. Аналогично,

,

т.е. при вычитании векторов их одноименные координаты вычитаются.

При умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число: если , то . В этом случае вектор будет коллинеарен вектору . Обозначим . Тогда из равенства следует, что , . А это означает, что . Таким образом, если два ненулевых вектора коллинеарны, то их одноименные координаты пропорциональны. Верно и обратное: если одноименные координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.

Пример 5. Даны векторы и . Найти координаты вектора .

Решение. Так как при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число, а при вычитании векторов вычитаются их соответствующие координаты, то

.

Пример 6. При каких значениях m и n векторы и коллинеарны?

Решение. Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны: . Тогда и , т.е. n=4 и m=5.

4. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: . Так как , а , то = .

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого вектора на направление первого.

Пусть векторы и заданы своими координатами. Тогда скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их одноименных координат:

.

Если же два вектора равны, т.е. и , то . Отсюда следует, что , т.е. длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Из определения скалярного произведения двух векторов можно найти угол между векторами:

или .

Если два вектора взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, так как . И, обратно, если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы взаимно перпендикулярны. Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

или .

Пример 7. Вычислить скалярное произведение векторов , если , а угол между векторами .

Решение. По определению скалярного произведения

, т.е. .

Пример 8. Вычислить скалярное произведение векторов , если .

Решение. Найдём координаты векторов и :

,

.

Так как известны координаты векторов, то их скалярное произведение равно: .

Пример 9. Вычислить скалярное произведение векторов и .

Решение. По условию примера и . Тогда .

Пример 10. Найти длину вектора .

Решение. Так как длина вектора и определяется по формуле , то .

Пример 11. Найти длину вектора , если известны векторы и .

Решение. Вначале вычислим координаты вектора : . Тогда .

Пример 12. Даны векторы и . Найти проекцию вектора на вектор .

Решение. Найдём координаты этих векторов:

, .

Тогда .

Пример 13. Найти угол между векторами и .

Решение. Так как по условию и , то

. Таким образом, угол между векторами .

Вопросы для самоконтроля знаний

1. Как вводится система координат на прямой?

2. Как вводится прямоугольная система координат на плоскости?

3. Что называется координатами точки в прямоугольной системе координат на плоскости?

4. Как вводится прямоугольная система координат в пространстве?

5. Что называется координатами точки в прямоугольной системе координат в пространстве?

6. По какой формуле вычисляется расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве?

7. Какие величины называются скалярными, а какие векторными?

8. Что называется вектором?

9. Какие векторы называются коллинеарными?

10. Какие векторы называются равными?

11. Какие векторы называются противоположными?

12. Какие векторы называются компланарными?

13. Что называется проекцией вектора на ось?

14. Что называется координатами вектора?

15. Как определяются координаты вектора, если известны координаты точки его начала и точки его конца?

16. Если известны координаты вектора, то чему равна его длина?

17. Какие операции над векторами называются линейными?

18. Что является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов?

19. Как определяется скалярное произведение двух векторов?

20. Что является необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов?