Определители и их свойства

Пусть дана квадратная матрица второго порядка . Определителем данной матрицы или просто определителем второго порядка называется число . Обозначается определитель , т.е. .

Аналогично определителем квадратной матрицы третьего порядка или просто определителем третьего порядка называется число

+ .

Если из определителя третьего порядка вычеркнуть i – ю строку и j – й столбец, на пересечении которых находится элемент , то оставшиеся элементы образуют определитель второго порядка, который называется минором определителя и соответствует элементу . Обозначается минор . Например, элементу соответствует минор .

Минор элемента , взятый со знаком «+», если сумма i+j номеров строк и столбца чётная, или со знаком «-», если сумма i+j нечётная, называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается .

Пример 4. Найти алгебраическое дополнение числа 3 в определителе .

Решение. Так как число 3 находится на пересечении второй строки и первого столбца, то вычёркиваем эти строку и столбец и получим минор, соответствующий числу 3: . Алгебраическое дополнение этого элемента .

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

.

Определителем матрицы порядка n (или просто определителем порядка n) называется число , равное сумме произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, для первой строки . Такая запись называется разложением определителя по элементам первой строки.

Основными свойствами определителя являются:

1) если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю;

2) при перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный;

3) определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю;

4) общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя;

5) определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число;

6) определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, не меняя их порядка.

Пример 5. Вычислить определитель .

Решение. Все элементы первой строки, кроме первого, обратим в нули. Для этого воспользуемся свойством 5:

1) к элементам второго столбца прибавим элементы первого, умноженные на 2;

2) к элементам третьего столбца прибавим элементы первого, умноженные на 3;

3) к элементам четвёртого столбца прибавим элементы первого, умноженные на 3.

В результате получим определитель . Разложим этот определитель по элементам первой строки:

. К элементам первой строки прибавим элементы третьей, умноженные на 3, а к элементам второй прибавим элементы третьей, умноженные на 6. В результате получим определитель, который разложим по элементам первого столбца:

.

Пример 6. Вычислить определитель .

Решение. Воспользуемся свойством 5. К элементам второй строки определителя прибавим элементы первой, умноженные на 3, а к элементам третьей прибавим элементы первой, умноженные на 2. Тогда {к элементам второй строки прибавим элементы третьей} {разложим определитель по элементам второй строки}= .