Последовательное соединение резисторов

Глава вторая

Расчет линейных цепей постоянного тока

2-1

Элементы схем электрических цепей. Два закона

Кирхгофа

Электрическая цепь называется линейной, если она содержит только линейные элементы. Линейным назы­вается элемент цепи, сопротивление которого остается постоянным независимо от силы тока в нем и от величины напряжения на его зажимах.

При расчете электрической цепи очень часто необходимо определить токи, напряжения и мощности на всех участках цепи по заданным э. д. с. источников и сопротивлениям участков цепи.

Точка электрической цепи называется узлом или точкой разветвления, если в ней соединены три или большее число проводов (рис. 2-1) или ветвей. Иногда под узлом понимают шину (отрезок провода большого се­чения), практически не обладающую сопротивлением, к ко­торой присоединены не менее трех проводов или ветвей.

Ветвью электрической цепи называется ее участок, состоящий из одного или нескольких элементов, соединен­ных так, что по ним проходит один и тот же ток, присоединенный к двум узлам. На рис. 2-2 показаны четыре ветви электрической цепи.

Контур электрической цепи представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, на­пример контур из четырех ветвей (рис. 2-2).

Рис. 2-1. Узел электриче­ской цепи. Рис. 2-2. Контур электриче­ской цепи. Рис. 2-3. Двухпо­люсник пассивный.

Часть электрической цепи с двумя внешними зажимами (полюсами), которыми она может присоединяться к другим ветвям или участкам, называется двухполюсни­ком (рис. 2-3). Двухполюсник, не содержащий источников питания, называется пассивным, а содер­жащий источники питания —активным. При постоянных токах в цепи ни в одной из ее точек не могут накапливать­ся электрические заряды, так как это вы­звало бы изменение потенциалов точек цепи и напряжений на участках. Сле­довательно, электрические заряды, при­текающие к какому-либо узлу по одной части присоединенных к нему ветвей или проводов в единицу времени, равны зарядам, оттекающим от этого узла по другой части ветвей или проводов за ту же единицу времени. Это положение выражает первый закон Кирхгофа (1-е пра­вило Кирхгофа), который формулируется так: сумма токов, направленных к узлу, равна сумме токов, направленных от узла.

Пользуясь этим законом, для узла А, изображенного на рис. 2-1, можно написать: I₁+I₃+I₅=I₂+I₄

Если направления токов в ветвях не известны, то при (оставлении уравнений по законам Кирхгофа их необхо­димо предварительно выбрать произвольно и обозначить на схеме стрелками. В действительности направления токов в ветвях могут и не совпасть с произвольно выбранными. Поэтому выбранные направления тока называют поло­жительными направлениями. Если в ре­зультате расчета цепи какие-либо токи будут выражены отрицательными числами, то действительные направления утих токов обратны выбранным положительным.

Считая токи, направленные к узлу, положительными, а токи, направленные от узла, отрицательными, уравнению (2-1) можно придать другой вид:

I₁+(- I₂)+I₃+(- I₄)+I₅=0

или в общем виде:∑I=0

Таким образом, алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, причем со знаком плюс записываются притекающие токи, а со знаком минус оттекающие (или наоборот).

На рис. 2-2 изображен контур электрической цепи. Положительные направления токов показаны стрелками. Источники электрической энергии, внутренними сопротив­лениями которых можно пренебречь или внутренние сопро-тивления которых учтены в величинах сопротивлений r1, r2, r3,, обозначены кружками со стрелками, показываю­щими направления э. д. с, т. е. направления возрастания потенциалов внутри источников.

Обходя контур рис. 2-2 от точки А, имеющей потен­циал φ_A, в произвольно выбранном направлении, например по часовой стрелке, проследим за изменением потенциала. На участке цепи между точками А и Б потенциал умень­шается на величину падения напряжения I₁r₁, так как направление обхода совпадает с направлением тока, кото­рый в пассивном элементе проходит от точки с более высо­ким потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Кроме того, на этом же участке потенциал уменьшается на вели­чину Е₁, так как при обходе контура мы переходим от поло­жительного зажима источника питания к его отрицатель­ному зажиму. Таким образом,

φ_Б =φА –I₁r₁ –Е₁.

При дальнейшем обходе контура от точки Б к точке В потенциал увеличивается на величину падения напряже­ния I₂r₂, так как направление обхода противоположно направлению тока I₂, который в сопротивлении r₂ идет от точки с более высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом. На этом же участке при переходе от отрица­тельного зажима источника э. д. с. Е_г к его положительному зажиму, имеем повышение потенциала на величину э. д. с. E₂; поэтому

φ_В=φ_Б+I₂r₂+E₂=φ_А-I₁r₁-E₁+I₂r₂+E₂

Обойдя весь контур и вернувшись в исходную точку А, получим снова потенциал φ_А, т. е.

φ_А – I₁r₁ — E₁ + I₂r₂ + I₃r₃ – E₃ + I₄r₄ = φ_A. Перенеся все падения напряжения в правую часть уравнения, найдем, что

— Е₁ +E₂ — Е₃ = I₁r₁ — I₂r₂ — I₃r₃ — I₄r₄ или в общем виде

∑E = ∑ (Ir). (2-3)

Это уравнение выражает второй закон Кирх­гофа (2-е правило Кирхгофа): в замкнутом кон­туре электрической цепи алгебраиче­ская сумма э. д. с. равна алгебраической сумме падений напряжения на всех сопротивлениях. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа э. д. с. записывается со знаком «+», если ее направление совпадает с направлением произ­вольно выбранного обхода контура, т. е. если при обходе после зажима источника «—» следует зажим источника «+». В противном случае э. д. с. записывается со знаком «—». Падение напряжения на сопротивлении записывается со знаком «+», если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

2-2

Последовательное соединение резисторов

Если несколько резисторов (или приемников энергии) соединены один за другим без разветвлений (рис. 2-4) и по ним проходит один и тот же ток, то они образуют одну ветвь и соединение резисторов называется последовательным.

Согласно закону Ома напряжения на резисторах или падения напряжения определяются выражениями

откуда

(2-4)

Таким образом, падения напряжения на последователь­но соединенных резисторах пропорциональны величинам их сопротивлений.

Напряжения на резисторах можно выразить через раз­ности потенциалов на их зажимах, т. е.

Складывая почленно правые и левые части написанных уравнений, получаем:

(2-5)

т. е. сумма падений напряжений на последовательно соеди-
ненных резисторах равна напряжению на зажимах цепи.
На схемах напряжения или
падения напряжения можно
обозначить стрелками (рис.
2-4). Направление стрелки
будем выбирать от точки с
большим потенциалом к точ­
ке с меньшим потенциалом. _{Рис 2-4}. Последовательное сое-
Так, стрелка напряжения динение резисторов.

U\ = Фд—Ц>б направлена от

точки А к точке Б. Если действительное направление тока не известно и на схеме указано положительное направ­ление тока, то и стрелка напряжения обозначает положи­тельное направление, т. е. направлена от точки, потенциал которой принят большим, чем потенциал другой точки. Как видно из рис. 2-4, положительные направления на­пряжения или падений напряжения на сопротивлениях совпадают с положительными направлениями токов. По­этому отдельных стрелок для положительных направлений напряжений можно и не ставить.

Ряд последовательно соединенных резисторов можно заменить эквивалентным (общим) с сопротивле­нием r, величина которого должна быть такой, чтобы эта

замена при неизменном напряжении на зажимах соедине­ния не вызвала изменения тока* в цепи. Разделив на ток правую и левую части уравнения (2-5), получим:

откуда следует, что эквивалентное сопротивление ряда последовательно соединенных резисторов равно сумме их сопротивлений.

Из выражения (2-6), умножая его на I², находим, что

т. е. мощность, развиваемая в последовательно соединенных резисторах или в эквивалентном, равна сумме мощностей всех резисторов.

При последовательном соединении резисторов ток в них один и тот же, поэтому мощности, развиваемые в отдельных участках (Р = I²r), пропорциональны их сопротивлениям, т. е.

Пример 2-1. Вычислить, в каких пределах можно изменять силу тока в участке цепи с напряжением 125 В, который состоит из последовательно соединенных обмоток возбуждения электродвигателя с со­противлением r1 = 25 Ом и реостата, сопротивление которого r2можно изменять от 0 до 100 Ом.

Решение. Эквивалентное сопротивление участка цепи г— = r1 + r2. При r₂ — 0 сила тока в цепи

При r₂ == 100 Ом сила тока в цепи

Пример 2-2. Магазин сопротивлений имеет соединенные после­довательно четыре катушки с сопротивлениями: r1= 1 Ом, r₂ = 2 Ом, r₃ = 3 Ом и r₄=4 0м. Каждую из катушек можно замкнуть на­коротко. Определить эквивалентное сопротивление магазина, если: а) замкнута накоротко катушка r₂; б) замкнутых накоротко кату­шек нет.

Предлагается читателю самому ответить на вопрос: какие катушки следует замкнуть накоротко для того, чтобы эквивалентное сопротив­ление магазина было равно: 5, 6, 7 и 9 Ом?