Моделирование олигополии

Построение числовой модели олигополии, основные характеристики и параметры которой представлены выше, покажем на основе базовой модели (7.5.1)-(7.5.5). Для олигополии характерно то, что стоимость продаж, затраты на производство продукции (производственно-экономические параметры) отличаются по величине. Эти требования отразим в математической модели рынка (7.5.1)-(7.5.5).

Дано. Введем обозначения, уточняющие модель (7.5.1)-(7.5.5):

c₁= c₂=50, c₃=c₄=60 - цены на продукт; a₁= a₂=40, a₃=a₄=50 - затраты;

p₁= p₂= p₃=p₄= (c_j-a_j )=10 - прибыль от производства и продажи продукта;

b =3500, b =5000, l=1,2; b_q=5000, q=1,2.

Взаимосвязь спроса и предложения решена аналогично, как и для модели совершенной конкуренции, т. е. в модели (7.5.1)-(7.5.5) с предлагаемыми числовыми параметрами, предложение превышает спрос, хотя модель может быть использована и при других взаимоотношениях спроса и предложения.

Построить оптимизационную модель рынка и рассчитать объемы спроса-предложения.

Построение математической модели рынка. Модель рынка с двумя производителями и двумя потребителями (модель 2*2) введенными параметрами в виде векторной задачи линейного программирования представим следующим образом:

opt F(X)={max f₁(X) = 10x₁ + 10x₂, max f₂(X) = 10x₃+ 10x₄, (7.7.1)

min f₃ (X) = 50x₁ + 60x₃ , min f₄(X) = 50x₂+ 60x₄}, (7.7.2)

при ограничениях 3500 ≤50x₁+60x₃ ≤ 5000, 3500 ≤ 50x₂+60x₄ ≤ 5000, (7.7.3)

40x₁+ 40x₂ ≤ 5000, 50x₃+ 50x₄ ≤ 5000, (7.7.4)

x₁, x₂, x₃, x₄ ³ 0. (7.7.5)

Решение векторной задачи (7.7.1)-(7.7.5) на основе нормализации критериев и принципе гарантированного результата.

Решение представим в виде последовательности шагов.

Шаг 1. Решается задача (6.5.1)-(6.5.5) по каждому критерию отдельно. Ищется наилучшее (X ), и наихудшее решение (X ), т.е. для "kÎK₁=Q определяется максимум и минимум, а для "kÎK₂=L ищется минимум и максимум соответственно. В результате решения получим:

Критерий 1. max: X ={x₁=62.5, x₂=62.5, x₃=31.25, x₄=31.25},

f₁(X ) =1250.0, f₂(X ) =625.0, f₃(X ) =5000.0, f₄(X ) = 5000.0,

min: X ={x₁= 20.0, x₂= 0.0, x₃= 41.667, x₄=58.33},

f₁(X )= 200.0, f₂(X ) = 1000.0, f₃(X ) = 3500.0, f₄(X ) =3500.0.

Критерий 2. max: X ={x₁=40.0, x₂= 40.0, x₃= 50.0, x₄= 50.0},

f₁(X ) = 800.0, f₂(X ) = 1000.0, f₃(X ) = 5000.0, f₄(X ) = 5000.0,

min: X ={x₁= 55.0, x₂=70.0, x₃= 12.5, x₄= 0.0},

f₁(X )=1250.0, f₂(X ) = 125.0, f₃(X ) = 3500.0, f₄(X ) =3500.0.

Критерий 3. min: X ={x₁=33.606, x₂=45.902, x₃=30.327, x₄= 45.082},

f₁(X )= 795.0, f₂(X ) = 754.0, f₃(X )=3500.0, f₄(X ) = 5000.0,

max: X ={ x₁=45.902, x₂=45.902, x₃=45.082, x₄= 45.082}.

f₁(X ) = 918.0, f₂(X ) = 901.64, f₃(X ) = 5000.0, f₄(X ) =5000.0.

Критерий 4. min: X ={x₁=45.902, x₂= 15.902, x₃=45.08, x₄= 45.082}.

f₁(X )= 618.0, f₂(X )= 901.64, f₃(X )=5000.0, f₄(X ) =3500.0.

max: X ={x₁= 45.902, x₂= 45.902, x₃=45.082, x₄= 45.082}.

f₁(X )= 918.0, f₂(X )= 901.64, f₃(X )=5000.0, f₄(X ) =5000.0.

Шаг 2. Выполняется стандартная нормализация критериев и анализ оптимальных результатов решения, полученных по каждому критерию:

f₁(X )= 1250.0 f₂(X )=621.5 f₃(X )=4989.6 f₄(X )=4989.6

f₁(X )=677.1 f₂(X )=1000.0 f₃(X )=4692.7 f₄(X )=4692.7

f₁(X )=808.1 f₂(X )=688.8 f₃(X )=3500.0 f₄(X )=4673.0

f₁(X )=808.1 f₂(X )=688.8 f₃(X )=4673.0 f₄(X )=3500.0

l₁(X )=1.0, l₂(X )=0.5675, l₃(X )=0.0, l₄(X )=0.0,

l₁(X )=0.4543, l₂(X )=1.0, l₃(X )=0.2, l₄(X )=0.2,

l₁(X )=0.579, l₂(X )=0.644, l₃(X )=1.0, l₄(X )=0.2,

l₁(X )=0.579, l₂(X )=0.644, l₃(X )=0.2, l₄(X )=1.0.

Шаг 3. Построение l-задачи - она примет вид:

l^o = max l, (7.7.6)

при ограничениях

l - (p₁x₁ + p₂x₂ - f₁(X ))/(f₁(X )-f₁(X )) £ 0, (7.7.7)

l - (p₃x₃ + p₄x₄ - f₂(X ))/(f₂(X )-f₂(X )) £ 0,

l - (c₁x₁ + c₃x₃ - f₃(X ))/(f₃(X )-f₃(X )) £ 0,

l - (c₂x₂ + c₄x₄ - f₄(X ))/(f₄(X )-f₄(X )) £ 0, (7.7.8)

3500 ≤ c₁x₁ + c₃x₃ ≤ 5000, 3500 ≤ c₂x₂ + c₄x₄ ≤ 5000, (7.7.9)

a₁x₁ + a₂x₂ ≤ 5000, a₂₃x₃ + a₄x₄ ≤ 5000, x₁, x₂, x₃, x₄ ³ 0. (7.7.10)

Шаг 4. Решение l-задачи.

В результате решения l-задачи получаем точку оптимума X^o, f_k(X^o), k= и максимальную относительную оценку l^o:

l^o = 0.61112. X^o ={x₁=42.083, x₂= 42.085, x₃= 32.986, x₄= 32.984}.

f₁(X^o) = 841.6, f₂(X^o) =659.7, f₃(X^o) = 4083.3, f₄(X^o) = 4083.3,

l₁(X^o) = 0.61112, l₂(X^o) =0.61112, l₃(X^o) =0.61112, l₁(X^o) =0.61112,

т. е. выполняются условия l^o ≤ l_q(X^o), q=1,2,3,4. Любое улучшение (увеличение) одного из них приводит к ухудшению другого.