Математическое моделирование спроса и предложения

В соответствии с определением рынок с одним товаром представим в виде трех подсистем:

производители в совокупности, определяющие рыночное предложение;

потребители, определяющие рыночный спрос;

третья связующая подсистема – товар.

Первая подсистема представлена Q производителями, вторая - L потребителями этого продукта: Q – число, q - индекс, а Qº - множество индексов производителей (фирм), аналогично l - индекс, L - число, L - множество потребителей, l= .

При построении математической модели рынка сформируем для каждого потребителя функцию спроса, а для каждого производителя функцию предложения.

Спрос представляет собой общее количество товара, которые потребители в совокупности хотят, и могут купить по предложенным ценам в течение определенного периода времени [18, 20].

При покупке продукта основополагающими действиями потребителя - "покупать - не покупать" является:

а) величина цены p_q, установленная q-м производителем - потребитель стремится выбрать тот товар, у которого p_q, "qÎQ как можно меньше;

б) набор характеристик товара: качество, место расположения продажи, время доступа, реклама и т. п. - потребитель стремится выбрать тот товар, у которого эти характеристики наиболее приемлемы.

Цель любого потребителя купить необходимый объем товара по наиболее низкой цене с приемлемым набором характеристик. Эту целенаправленность сформулируем в виде задачи математического программирования:

"lÎL, min f_l(X(t))= p x_ql(t), (8.3.1)

при ограничениях

b £ p_qx_ql(t)£ b , x_ql(t)³0, (8.3.2)

где f_l(X(t)) - целевая функция (критерий), p, x_ql, q= , "lÎL - управляющие переменные, которые представлены в задаче произведением, а отсюда задача оптимизации (8.3.1)-(8.3.2) – не линейна, в ней потребитель минимизирует свои затраты, за счет стоимости; если в (8.3.1) стоимость p представлена постоянной величиной, то задача оптимизации (8.3.1)-(8.3.2) – линейна, в ней потребитель минимизирует свои затраты, за счет объема покупок;

(8.3.2) - ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям l-го потребителя, а также ограничения, связанные с не отрицательностью переменных.

Задача (8.3.1)-(8.3.2) является моделью поведения любого lÎL потребителя на дискретный период tÎT.

Предложение представляет собой общее количество товара, которые производители в совокупности хотят, и могут выпустить на рынок по возможным ценам в течение определенного периода времени.

При выпуске нового продукта основополагающими действиями производителя - "производить - не производить" является:

а) величина цены p_q, установившаяся на рынке - производитель стремится производить тот товар, у которого p_q, "qÎQ как можно выше;

б) оценка факторов: цена на используемые ресурсы, применяемые технологии, число компаний, действующих на рынке, субституты производителей, размер налогов и ожидания производителей и т. п. - производитель стремится выбрать тот товар, у которого эти характеристики наиболее приемлемы.

Цель любого производителя продать как можно больше товара по наиболее возможно высокой цене с учетом накладываемых ограничений по ресурсам, с тем, чтобы получить, возможно, высокую прибыль[5]. Эту целенаправленность можно представить в виде задачи математического программирования (ЗМП):

"qÎQ max f_q(X(t))= p_qx_ql(t), (8.3.3)

при ограничениях

a_qx_ql(t)£ b_q, a_q£ p £ p^max, x_ql(t)³0. (8.3.4)

где f_q(X(t)) - целевая функция (критерий), управляющие переменные p_q=p-a_q и x_ql, "qÎQ представлены в задаче произведением, а отсюда задача оптимизации (8.3.3)-(8.3.4) – не линейна, в ней производитель максимизирует свои прибыли за счет изменения стоимости; (8.3.4) - ограничения по ресурсным возможностям q-го производителя.

Задача (8.3.3)-(8.3.4) является моделью поведения любого qÎQ производителя на дискретный период tÎT.