Основные свойства неопределенного интеграла

I Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

II Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции сложенной с постоянной интегрирования

III Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

IV Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой из них.

Основные формы интегрирования

1.

2. n≠-1

3.

4. a>0 n≠1

5.

6.

7.

8.

9.

10. a ≠ 0

11. a ≠ 0

12. a ≠ 0

 

Решить в аудитории

1. 10.

2. 11.

3. 12.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Домашнее задание

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

Урок № 71. Тема 8.2.: Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл.

 

План.

1. Площадь криволинейной трапеции.

2. Определенный интеграл

 

Рассмотрим функцию у=f(x)xЄ[a;в]

Фигура АавВ называется криволинейной трапецией.

Выразим площадь данной трапеции. Для чего разобьем на n равных частей отрезок [a;в]. Получим отрезки [a;х₁], [х₁;х₂]….. [х_n1;в]

Через mi и Mi обозначим наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на любом отрезке [х_i-1;x_i].

Криволинейная трапеция АавВ разбивается на n частей. Очевидно, площадь i-ой части не меньше mi(x_i-x_i-1) и не больше Мi(x_i-x_i-1), следовательно, площадь криволинейной трапеции не меньше суммы m₁∆x₁+m₂∆x₂+….+m_n∆x_n= где ∆х_i=x_i-1 и не больше суммы М₁∆x₁+М₂∆x₂+….+М_n∆x_n= . Обозначим эти суммы sn и Sn, получим

Sn≤SAaвB≤Sn.

В последнем неравенстве слева площадь ступенчатой функции, которая содержится в данной криволинейной трапеции, а справа – площадь ступенчатой функции, которая содержит данную криволинейную трапецию.

При n→∞

Рассмотрим снова криволинейную трапецию АавВ разбитую на n отрезков. Выберем на i-ом отрезке произвольную точку γi. Пусть mi и Mi наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [x_i-1; x_i] и очевидно mi≤f(ηi)≤Mi. Умножим каждый член данного неравенства на ∆х_i=x_i=x_i-1 и просуммируем почленно, получим:

Очевидно, существует и не зависит от выбора точки γi т.о.

Определенный интеграл

Сумма

где ∆х_i=x_i-x_i-1 называется интегральной.

Определение. Если предел существует и не зависит от выбора точки γ_i, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, в], а предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а, в] и обозначается .

Читается: интеграл от а до в от

а – нижний предел интегрирования

в – верхний предел интегрирования

и так

Закрепление нового материала.

 

Домашнее задание – выучить конспект.

 

 

Урок № 72. Тема 8.3.: Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.

 

План.

Свойства определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла.