КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1. Стальная колонна (Е = 2×104 кН/см2) находится под действием продольной силы Р = 20 кН и

ПРИМЕР К ЗАДАЧЕ 1.1

 

Стальная колонна (Е = 2×10⁴ кН/см²) находится под действием продольной силы Р = 20 кН и собственного веса ( g = 78 кН/м³).

Требуется:

1. Построить эпюры продольных усилий и нормальных напряжений.

2. Определить опасное сечение и проверить прочность колонны при [s] = 16 кН/ см².

3. Определить перемещение верхнего среза колонны без учета собственного веса.

2A                               Рис.1

Исходные данные: А=10 см2 ; a=2 м; b=1м; с=3м; Р=20 кН.

РЕШЕНИЕ

 

Расчетная схема колонны (Рис.2 ) - ступенчатый брус, загруженный заданной сосредоточенной силой Р и распределенной нагрузкой q₁, q₂, q₃ от собственного веса, где

q₁ = g А₁ = g 2А = 78×20×10^-4 = 0.156 кН/м;

q₂ = g А₂ = g А =78×10×10^-4 = 0.078 кН/м;

q₃ = g А₃ = g 2А =78×20×10^-4 = 0.156 кН/м.

R - опорная реакция.

N, кн s, кн/см²

Рис. 2

 

Разбиваем стержень на участки, начиная с верхнего свободного конца. Границами участков служат сечения в которых приложены внешние силы или же изменяется площадь поперечного сечения. В данном случае имеем три участка, площади поперечного сечения которых: А₁ =2А=20 см², А₂=А=10см², А₃=2А=20см². Ось z направляем вдоль оси стержня от верхнего среза колонны. Для каждого участка находим внутренние продольные силы N_Z методом сечений из условия равновесия отсеченной верхней части (при этом отпадает необходимость в определении реакции заделки R). Нормальные напряжения s_z.=

1-ый участок 0 £ z₁ £ a

0 £ z₁ £ 2

q₁ z₁

N_z1

z

2 -ой участок a £ z ₂ £ a+b

2 £ z₂ £ 3

a q₁ z₂

P

q₂

N_z2

z

3 -ий участок a+ b £ z₃ £ a+b+c

3 £ z ₃ £ 6

a q₁

P z₃

b q₂

q₃

N_z3

z

 

Зависимости N_Z и s_Z линейно зависят от z. Для построения эпюр достаточно вычислить их значения на границах участков. Эпюры N_Z и s_Z строим рядом с расчетной схемой (рис. 2). Ось абсцисс графиков проводим параллельно оси бруса. По оси ординат откладываем в выбранном масштабе значение продольной силы N_Z или нормального напряжения s_Z соответственно. Указываем знак. Штриховка должна быть перпендикулярна оси.

2. По эпюре нормальных напряжений s_Z определяем опасное сечение. Опасное сечение - сечение в котором . = 2.039 кН/см². В опасном сечении записываем условие прочности при растяжении-сжатии:

, кН/см²

=2.039 кН/см² < 16 кН/см² . Условие прочности выполняется.

3. Результаты расчета показывают, что собственный вес колонны мал по сравнению с приложенной нагрузкой Р. Поэтому при определении перемещения Dl верхнего среза стальной колонны собственный вес не учитываем. По закону Гука для растяжения-сжатия:

Определяем D l как сумму удлинений ( укорочений ) отдельных участков.

Без учета собственного веса (q₁ = 0, q₂ = 0, q₃ = 0)

Отрицательное значение Dl показывает, что колонна укоротилась.

 

ПРИМЕР К ЗадаЧЕ 1.2

 

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стальным стержням при помощи шарниров.

Требуется:

1. Найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q.

2. Используя метод расчета по допускаемым напряжениям найти допускаемую нагрузку [Q].

3. Найти предельную грузоподъемность системы Q_т и допускаемую нагрузку [Q]_т путем расчета по предельному состоянию. Запас прочности к = 1.5.

4. Сравнить величины [Q] и [Q]_т .

Рис.1

a = 40 см, b = 20 см, с= 30 см А - площадь поперечного сечения стержня ВМ 2А- площадь поперечного сечения стержня СК А = 10 см2 , sт = 24 кН/см2 [s] = 16 кН/см2

 

РЕШЕНИЕ

1. Определяем необходимые геометрические параметры (длины стержней ВМ и СК, a - угол наклона стержня СК).

l₁=ВМ=40 см

l₂=СК= = = 56.569 см

sin a = DК / СК = 40 / 56.569= 0.707, cos a = СD/CK=0,707

2. Строим силовую схему (рис. 2). Указываем направление опорных реакций R_D и H_D, внутренних усилий в стержнях N₁ и N₂. Неизвестные усилия N₁ и N₂ считаем растягивающими.

Рис.2

3. Определяем степень статической неопределимости m = 4 - 3 = 1

Здесь 4 - число неизвестных ( R_D, H_D, N₁, N₂)

3 - число уравнений статики.

4. Записываем уравнения статики

S x = 0 H_D + N₂ cosa = 0;

S y = 0- N₁ - R_D + N₂ sina + Q= 0 ;

S M_D= 0 - N₁ 70 + N₂ 40 sin a - Q20 = 0.

В данной задаче не требуется отыскивать опорные реакции R_D и H_D, поэтому из трех уравнений статики используем одно:

S M_D= 0 - N₁ 70 + N₂ 40 sin a - Q 20 = 0 (1)

Из одного уравнения (1) невозможно определить два неизвестных усилия N₁ и N_2.

Задача один раз статически неопределима.

5. Составляем условие совместности деформаций.

Используя предположение о малости деформаций, строим деформированную схему конструкции (рис. 3). Абсолютно жесткий брус BL под действием приложенной нагрузки Q поворачивается на малый угол вокруг опоры (т.D), оставаясь прямолинейным. При этом первый стержень сжимается на величину Dl₁ ( т. В переходит в т. В₁ ), а второй стержень растягивается на величину Dl₂ (т.С переходит в С₁ ).

Рис. 3

 

Здесь ВВ₁ ^ BD, CC₁ ^ CD, D l₁ = BB₁, D l₂ = CC₂

Чтобы получить т. С₂ из т. С₁ опускаем перпендикуляр на первоначальное направление стержня СК.

Из подобия треугольников D BB₁D и D СС₁D следует:

или

Здесь CC₁ = Dl₂ / sin a из D CC₁C₂. Знак минус показывает, что первый стержень укорачивается. Итак получили условие совместности деформаций:

или (2)

6. Используя закон Гука, из уравнений (1) и (2) определяем усилие и напряжения. Согласно закону Гука:

По условию задачи А₂ = 2 А₁

Подставляя в (2), получим N₁= -1,750 N₂ (3)

 

Решаем совместно систему уравнений (1), (3). Получаем:

- (-1.750 N₂ ) 70 + N₂ 40 0.707 - Q 20 =0. Откуда

N₂ = 0,133 Q ( растяжение )

N₁ = - 1,750 N₂ = - 0.233 Q ( сжатие )

Определяем напряжения в стержнях:

где A₁ =A =10 см² A₂ = 2 A = 20 см²

7. Определяем допускаемую нагрузку [Q].

Приравнивая максимальное напряжение по модулю |s₁| допускаемому [s], получаем допускаемую нагрузку [Q]:

|s₁ | = 0.0233 [Q] = 16 кН/см² Þ [Q] = 16 / 0.0233 = 689.655 кН.

 

8. Вычисляем предельную грузоподъемность Q_Т.

Считаем s₁ = s_T, s₂ =s_T. Тогда 240 кН, (сжатие)

кН/см², 480 кН.

Подставляя и в (1), с учетом истинного направления усилия (сжатия), находим предельное значение Q_Т:

Допускаемое значение [Q]_т по предельному состоянию

кН

9. Сравнивая величины [Q] = 689,655 кН и [Q]_T =1012.48 кН, видим, что расчет по предельному состоянию позволяет расширить диапазон допускаемых нагрузок

.

ПРИМЕР К ЗАДАЧЕ 1.3.

Круглый стальной вал сплошного сечения жестко закрепленный одним концом, находится под действием четырех внешних скручивающих моментов M₁=3,5 кН×м, М₂=5 кН×м, М₃=4 кН×м, М₄=2,5 кН×м (рис.1).

Требуется :

1. Построить эпюру крутящих моментов.

2. Определить диаметр вала из расчета на прочность [t]=6 кН/см².

3. Построить эпюру углов закручивания G = 8´10³ кН/см²

4. Найти наибольший относительный угол закручивания на 1 м длины.

*Примечание:На рис.1.3 использовано плоское изображение крутящих моментов:

- означает начало стрелки (“на нас”); - конец стрелки (“от нас”).

Рис. 1

 

РЕШЕНИЕ

 

1. Построение эпюры крутящих моментов.

Для определения крутящего момента в сечении пользуемся методом сечений. Разбиваем вал на участки, начиная со свободного конца. Границами участков служат точки приложения внешних крутящих моментов.

Для данного вала получаем 4 участка. Для каждого из участков рассматриваем равновесие отсеченной правой части. Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих по одну сторону от сечения. Для правой отсеченной части М_z направлен по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления оси z.

 

1 участок: 0 £ z₁ £ 1,5 м

åMZ = 0 -MZ1 + M4=0 MZ1 = M4 = 2,5 кН×м

 

2 участок: 1,5 £ z₂ £ 3,3 м

åMZ = 0 -MZ2 -М3 + M4=0 MZ2 = M4 - M 3 = 2,5 -4 = -1,5 кН×м

 

3 участок: 3,3 £ z₃ £ 4,9 м

åMZ = 0 -MZ3+М2 –М3 + M4=0 MZ3 = M4 - M 3 + М2 = = 2,5 -4 + 5 = 3,5 кН×м

 

4 участок: 4,9 £ z₄ £ 6,4 м

åM_Z = 0 -M_Z4 + M₁ + M₂ - M₃ + M₄ = 0

M_Z4 = M₄ - M₃ + М₂ + М₁ = 2,5 - 4 + 5 + 3,5 = 7 кН×м

 

Эпюры крутящих моментов показаны на рис.2

Опасное сечение - сечение в котором крутящий момент принимает максимальное значение М_Zmax =7 кН×м - все точки 4 -го участка.

 

2. Подбор диаметра вала

По наибольшему моменту M_Zmax из условия прочности при кручении подбираем диаметр вала:

t_{max =} [t]

Полярный момент сопротивления для круглого сечения ;

M_Zmax = 7 кН×м =700 кН×см.

Отсюда

= = 8.4 см = 84 мм.

После округления до стандартного значения получаем D = 90 мм=0.09 м.

 

3. Вычисляем углы закручивания j.

Обозначаем буквами А, В, С, D, Е границы участков, начиная с заделки (рис.2). Если на участке вала длины l крутящий момент M и жесткость GI_р постоянны, то угол поворота торцевых сечений определяется по формуле:

j =

G = 8 × 10³ кН/см² см⁴

Жесткость вала при кручении GI_r = 8 ×10³ × 643,8 = 5,15 10⁶ кН см²

Вычисляем углы закручивания начиная от неподвижного сечения. В заделке j_А = 0

j_В = j_А + j_АВ =0+ (рад)

Здесь j_AB угол поворота торцевых сечений на участке AB. M_AB = M_Z4 = 7 кН×м = 700 кН×см, l_AB= 1.5м = 150 см (длина участка AB )

Аналогично получаем:

j_C = j_B + j_BC =j_В+ 0.0204+0.0109=0.0313 (рад);

 

j_D = j_c + j_CD =j_c+ 0.0313-0.052=0.0261 (рад);

 

j_Е = j_D + j_DE =j_D+ 0.0261+0.0073=0.034 (рад).

 

Эпюры углов поворота приведены на рис.2.

4. Вычисляем относительные углы закручивания на каждом участке.

(м^-1);

(м^-1);

 

(м^-1);

(м^-1).

Наибольший угол закручивания на 1 метр длины q_max = q_AB =0.0136 (м^-1 ).

 

Рис. 2.