Пример решения задачи 1

Для статически определимой стержневой системы (см рис. 1.2), загруженной силой Р необходимо:

1. Определить продольную силу в каждом из стержней, поддерживающих жёсткий брус.

2. Подобрать размеры поперечного сечения стержней.

Рис. 1.2 Схема к примеру решения задачи 1

Стержень 1 стальной, круглого поперечного сечения. Допускаемое напряжение .

Стержень 2 деревянный, квадратного поперечного сечения. Допускаемое напряжение .

Стержень 3 дюралюминиевый, трубчатого поперечного сечения. Допускаемое напряжение . Отношение наружного и внутреннего диаметра составляет .

Высоту жёсткого бруса считать малой по сравнению с размерами конструкции и в расчётах её не учитывать.

Р=2кН; а=2м; в=2,5; с=0,5м; α=30⁰.

Решение

Рассмотрим равновесие жёсткого бруса (рис.1.2). Для освобождения бруса от связей мысленно рассечем стержни и заменим связи их реакциями , и . Внутренние усилия, возникающие в стержнях, определим, составив уравнения равновесия.

Из рис.1.2 не трудно заметить, что угол наклона стержня 1 и стержня 3 к оси х одинаков. Обозначим этот угол через α.

Уравнение проекций всех сил на ось х:

. (1.1)

Рис. 1.3 Расчётная схемак примеру решения задачи 1

Уравнение проекций всех сил на ось у:

. (1.2)

Сумма моментов всех сил относительно точки О:

. (1.3)

Определим cosα и sinα.

Решая систему трёх уравнений найдём усилия в стержнях.

Из уравнения (1.3) определяем усилие в 1-ом стержне N₁:

.

Из уравнения (1.1) определяем усилие в 3-ем стержне N₃:

.

Из уравнения (1.2) определяем усилие во 2-ом стержне N₂:

Получили усилия в стержнях одинаковые. Что бы убедиться в правильности наших вычислений сделаем проверку. Составим проверочное уравнения – сумма моментов от всех сил относительно точки А:

Размеры поперечных сечений определяют из условия прочности при растяжении-сжатии:

,

где – максимальное значение внутреннего продольного усилия в стержне;

F – площадь поперечного сечения стержня;

– допускаемое нормальное напряжение.

Несмотря на то, что усилия в стержнях получились одинаковые, размеры поперечных сечений будут отличаться, так как они выполнены из различных материалов, с разными допускаемыми напряжениями.

1 стержень стальной круглого поперечного сечения. Определим из условия прочности диаметр d поперечного сечения стержня:

.

2 стержень деревянный квадратного поперечного сечения со стороной h. Определим сторону квадрата поперечного сечения:

.

3 стержень дюралюминиевый трубчатого поперечного сечения. Определим внешний D и внутренний d диаметры поперечного сечения:

D=1,2d=86,9мм