Формула Ньютона-Лейбница

Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке задана функция . Разделим этот отрезок точками на частей, длины которых равны соответственно числам , где . На каждой из этих частей выберем произвольную точку

и рассмотрим сумму , (1) которая называется интегральной суммой.

Определение 1. Определенным интегралом от функции по промежутку (обозначается ) называется предел интегральных сумм (1), если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области интегрирования и выбора точек .

Для каких функций определенный интеграл существует, т. е. соответствующие функции интегрируемы на отрезке ? Для ответа на этот вопрос надо установить сходимость сумм Дарбу (1). Для этого надо рассмотреть верхнюю и нижнюю суммы Дарбу (значения функции берутся соответственно самые большие и самые маленькие на каждом промежутке) и доказать, что разность между ними стремится к 0 при . Этот факт интегрируемости функции несложно установить для непрерывной функции на отрезке. Доказаны и более тонкие теоремы об интегрируемости монотонных и кусочно непрерывных функций.

Свойства определенного интеграла

Теорема 1. (Линейные свойства определенного интеграла) Пусть функции и интегрируемы на отрезке (т. е. существуют интегралы и ). Тогда справедливы следующие формулы:

(2)

(3)

(4)

(5)

Теорема 2. (Свойства аддитивности и монотонности определенного интеграла) Пусть функции и интегрируемы на отрезке и . Тогда справедливы следующие формулы:

(6)

(7)

Доказательство. Каждый из написанных интегралов является пределом соответствующих интегральных сумм. А для этих конечных сумм написанные формулы, безусловно, справедливы. Теоремы доказаны.

Теорема 3. (Теорема о среднем) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует значение , для которого справедлива следующая формула:

(8)

Доказательство. Непрерывная функция на отрезке достигает на этом отрезке свое наименьшее значение и наибольшее значение . Тогда или , откуда и , что равносильно (8).. Теорема доказана.

Интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом и непрерывной функцией . Заметим, что , где , поэтому, очевидно, . (9) Итак, справедлива следующая теорема:

Теорема 4. (Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом) Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции в точке верхнего предела.

Формула Ньютона-Лейбница

Еще раз рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом и непрерывной функцией . Так как производная от функции равна , то справедлива формула , где - одна из первообразных функции , - константа, которую надо найти. Записывая равенство при , получим . Следовательно, справедлива формула и нами доказана важная теорема:

Теорема 5. (Формула Ньютона-Лейбница) Для непрерывной функции справедлива формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла (10)