Нормальное уравнение плоскости

Плоскость и прямая в пространстве

Общее уравнение плоскости

Плоскость однозначно определяется точкой на плоскости и вектором, перпендикулярным к ней. Пусть точка Mo(x₀,y₀,z₀) лежит на плоскости и вектор (A,B,C) перпендикулярен к плоскости (рис. 1)

Возьмём на плоскости p любую точку M(x,y,z), образуем вектор и используем условие перпендикулярности двух векторов и .

^ Þ ( , ) = 0 (1)

Обозначим радиусы векторы точек и , соответственно и . Тогда уравнение (2) можно записать так: . (2)

Получим векторное уравнение плоскости.

Запишем левое уравнение (2) в координатной форме.

=(x₀-x, y₀-y, z-z₀), =(A, B, C)

( , ) = 0 A(x-x₀) + B(y₀-y) + C(z-z₀)=0 (3)

Запишем правое уравнение (2) в координатной форме: , (4)

где .

Уравнение (4) называется общим уравнением плоскости в пространстве, а уравнение (3) – уравнением прямой, проходящей через данную точку.

Рассмотрим, в чём заключаются особенности расположения плоскости, заданной общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.

1. A=0. В этом случае вектор N=Bj+Ck; он компланарен ортам j и k, т.е. параллелен плоскости Oyz, поэтому соответствующая плоскость будет параллельна оси Ox.

Аналогично, если B = 0, то плоскость параллельна оси Oy, если С = 0, то плоскость параллельна оси Oz.

2. D=0. Плоскость проходит через начало координат.

3. A=0, B=0 Þ плоскость параллельна плоскости Oxy (перпендикулярна оси Oz); уравнение такой плоскости приводится к виду z = c.

Аналогично, если A=C=0, то плоскость перпендикулярна оси Oy; если B=C=0, то плоскость перпендикулярна оси Ox. Уравнения таких плоскостей приводится соответственно к виду y = b; x = a.

4. A=D=0. Плоскость проходит через ось Ox, поскольку она параллельна оси Ox(A=0) и проходит через начало координат (D=0).

Аналогично, если B=D=0, то плоскость проходит через ось Oy. Если C=D=0, то плоскость проходит через ось Oz.

5. A=B=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oxy, её уравнение z = 0.

A=C=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oxz, её уравнение z = 0.

B=C=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oyz, её уравнение x = 0.

Уравнение в отрезках

Пусть в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 , A¹0 , B¹0 , C¹0 , D¹0,

т.е. плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через начало.

Преобразуем уравнение следующим образом: Ax + By + Cz = -D

, обозначив a = (-D/A); b = (-D/B); c = (-D/C), будем иметь
(5)

Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках.

Нормальное уравнение плоскости

Пусть в пространстве заданы система прямоугольных декартовых координат и некоторая плоскость p (рис. 2), положение которой определено единичным вектором , имеющим направление перпендикуляра OD, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра.

Рис. 2

Произвольную точку плоскости М мы будем обозначать двояким образом: либо при помощи её координат в виде M(x,y,z), либо при помощи её радиус-вектора – в виде = ; оба способа равнозначны, поскольку =x + y + z .

При любом положении точки М на плоскости p проекция её радиуса вектора на направление вектора всегда равна p: . Но это равенство можно записать используя скалярное произведение.

= (r,n) - p = 0 (6)

Это также векторное уравнение плоскости p.

От векторного уравнения перейдём к её координатному уравнению.

Обозначим через a, b, g углы образованные единичным вектором с ортами , , . Тогда cosa, cosb и cosg будут координатами этого вектора:

= cosa + cosb + cosg (7)

Кроме того, известно, что = x + y + z (8)

Выразим ( - ) - p = 0 в координатной форме:

( , ) - p = x cosa + y cosb + z cosg – p = 0 (9)

Это нормальное уравнение плоскости в координатной форме.

Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение плоскости p: Ax + By + Cz + D = 0 (10)

Как, отправляясь от этого уравнения, получить нормальное уравнение той же плоскости?

Так как уравнения (6) и (7) определяют одну и ту же плоскость p, то их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е.

(11)

при некотором l, из равенств (11) определяем l: ôlô= (9)

Знак l определяем для случая D¹0 из четвёртого равенства (11); так как p>0, то lD<0 и, следовательно, l имеет знак, противоположный знаку D.

Определение: Число l, имеющее модуль и знак, противоположный знаку коэффициента D, называется нормирующим множителем уравнения (10). При D=0 можно знак l выбрать произвольно.

Мы установили: для того, чтобы из общего уравнения плоскости (10) получить нормальное уравнение плоскости (9), надо обе части уравнения (10) умножить на нормирующий множитель этого уравнения.