Основной закон теплопроводности

В основной закон теплопроводности входит ряд математических понятий, определения которых целесообразно напомнить и пояснить.

Температурное поле — это совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства в данный момент времени. Математически оно описывается в виде . Различают стационарное температурное поле, когда температура во всех точках тела не зависит от времени, и нестационарное. Кроме того, если температура изменяется только по одной или двум пространственным координатам, то температурное поле называют соответственно одно- или двухмерным.

Изотермическая поверхность - это геометрическое место точек, температура в которых одинакова.

Градиент температуры — grad t есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности и численно равный производной от температуры по этому направлению.

Фурье установил, что количество теплоты dQ_t, проходящее через элемент поверхности dF за промежуток времени dt, пропорционально температурному градиенту :

.

Так как (плотность теплового потока), то

Þ .

Полученное уравнение является математической записью основного закона теплопроводности, который формулируется следующим образом: плотность теплового потока прямо пропорциональна градиенту температуры.

Опытным путем установлено, что коэффициент пропорциональности в уравнении Фурье есть физический параметр вещества. Он характеризует способность вещества проводить теплоту и называется коэффициентом теплопроводности, Вт/(м×К).

Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности. Его положительное направление совпадает с направлением убывания температуры, так как теплота всегда передается от более горячих частей тела к холодным. Таким образом, векторы и лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Это и объясняет наличие знака «минус» в уравнении Фурье.

Скалярная величина вектора плотности теплового потока будет равна: . Плотность теплового потока ql в любом другом направлении l равна проекции вектора на это направление l: .

Тепловой поток Q в единицу времени через элементарную площадку dF будет равен:

.

Полный тепловой поток Q_t за время t через элементарную площадку dF равен, Дж:

.

Количество теплоты, проходящее через элементарную площадку dF_l за время dt, будет равно:

,

так как .

Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и является главной задачей аналитической теории теплопроводности.