Временные и частотные характеристики звеньев второго порядка

ПФ звена второго порядка можно представить в нескольких формах за-писи:

, (2.5)

где z– коэффициент демпфирования. Возможно представление ПФ в виде

. (2.6)

Наиболее общие формы – первая и вторая в (2.5). Третьей в (2.5) пользуются преимущественно для колебательных звеньев.

t

Форма (2.6) удобна исключительно для апериодических звеньев.

Свойства апериодического и колебательного позиционных звеньев отличаются прежде всего разными значениями величин z.

Для апериодических звеньев второго порядка z ³ 1. Дляних характерна монотонная форма ПХ и плавная, без подъемов, АЧХ (ЛАЧХ), имеющая в области высоких частот крутизну спада 40 дБ/декаду (прил. 2).

ПХ такого звена определяется по формуле (прил. 1)

, (2.7)

а ИХ – как

. (2.8)

График ПХ h(t) (рис. 2.3) дает представление об определении параметров ПФ по экспериментальной характеристике.

(См. также рис. 2.4 и 2.5, график 4.)

Если в (2.6) – (2.8) Т₃ = Т₄ (z = 1 или Т₁ = 2Т₂ в (2.5)), то

, . (2.9)

При Т₄ ® 0 звено вырождается в апериодическое звено первого порядка.

У колебательного звенаz < 1.

Если параметр демпфирования z лежит в пределах , то на ПХ (рис. 2.4, график 3) появляется выброс (зона перерегулирования), хотя АЧХ (рис. 2.5) по существу не меняется.

По мере уменьшения z ярче проявляются резонансные свойства звена (рис. 2.5, графики 1 и 2), и соответственно увеличивается колебательность временных характеристик (число пересечений уровня h(¥) (рис. 2.4, графики 1 и 2) и g(¥).

Хотя при увеличении z уменьшается время запаздывания (Т_З1 – Т_З4 на рис. 2.4) и увеличивается максимальная скорость нарастания ПХ , время регулирования из-за усиления колебательности процесса может даже увеличиться (на рис. 2.4
Т_Р1 > Т_Р2 > Т_Р3 < Т_Р4 ).

Число полных периодов колебаний N за время регулирования (N = 1 на ПХ рис. 2.6, N = 2 на ПХ рис. 2.4, график 1).

Временные характеристики колебательного звена описываются выражением

=

= , (2.10)

. (2.11)

В (2.10) – (2.11) – собственная частота колебаний звена; – коэффициент затухания; также a и w_кявляются соответственно действительной и мнимой частями корней характеристического уравнения звена ( ):

. (2.12)

Графики звена второго порядка с колебательной ПХ изображены на рисунках 2.4 и 2.6.

График на рисунке 2.6 иллюстрирует, как по экспериментальной ПХ реального звена можно найти параметры соответствующего колебательного звена.

Если параметр демпфирования z лежит в пределах , то АЧХ по существу не меняется (рис. 2.5) по сравнению с апериодическим звеном (z ³ 1), хотя на ПХ (рис. 2.4, график 3) появляется выброс.

Только в случае наблюдается заметный подъем АЧХ в некотором диапазоне частот, при этом показатель колебательности М и «резонансный горб» увеличиваются с уменьшением z. Обычно резонансная частота w₀ несколько ниже w_к, но приближается к ней с ростом z
(рис. 2.5).

На рисунке 2.7 приведены примеры нормированных АЧХ звеньев второго порядка: апериодического (график 1) и колебательного (график 2).