МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

 

Требования к оформлению контрольной работы

 

1. Контрольная работа выполняется в тетради в клетку. На обложке указать: номер зачетной книжки, вариант, дисциплину, ФИО (полностью), факультет, направление, курс, группу (см. Приложение 1).

2. Условия задач переписывать обязательно.

3. Задачи выполнять в заданном порядке.

4. Выделять результаты решения.

5. Контрольная работа должна быть сдана за 2 недели до сессии.

 

Числовые данные зависят от личного варианта студента (сумма цифр номера зачетной книжки), m определяется по вертикали, n определяется по горизонтали.

 

n m

 

 

Найти пределы, используя эквивалентность бесконечно малых функций:

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) ; в) .

Найти пределы, используя правило Лопиталя:

3. а) ; б) ; в) ; д) .

4. Задана функция и два значения аргумента х. Требуется 1) найти пределы функции приближении к каждому из заданных значений х слева и справа; 2) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из заданных значений х; 3) сделать схематический чертеж.

5. Задана функция

Найти все точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.

 

6. Исследовать функцию и построить ее график: а) ; б) .

 

 

Образец оформления

Пример 1.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

 

Общая схема исследования функций:

 

9. Найти область определения функции.

10. Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.

11. Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.

12. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

13. Найти наклонные асимптоты графика функции.

14. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

15. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

16. Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

 

1. Функция не определена, если

Область определения:

2. Т.к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа

Т.к. пределы равны значит точка разрыва второго рода.

Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.

Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция называется четной (нечетной) если выполнены два условия:

1. Область определения симметрична относительно начала координат
2. 

Если четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.

Функция не является периодической

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

Найдем промежутки знакопостоянства функции

5. Найдем наклонные асимптоты где

Для k и b вычисляются аналогично

6. Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной : если в некотором интервале , то в этом интервале функция возрастает, а если , то функция убывает в этом интервале.

Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения и в которых ее производная равна нулю или не существует. Если меняет знак с “+” на “-” при переходе через исследуемую точку, то эта точка максимума, если меняет знак с “-” на “+” при переходе через исследуемую точку, то эта точка является точкой минимума. Если не меняет знак при переходе через точку , в этой точке экстремума нет.

Найдем все точки из области определения функции , в которых производная обращается в ноль или не существует.

 

 

Составим таблицу

 

		-2
	+		+	не существует	-		+
				не существует
	возрастает		возрастает		убывает	min	возрастает

 

Функция возрастает на интервалах , , и убывает на интервале . Точка есть точка минимума

7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

Напомним, что график функции называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.

 

Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Перегиб возможен в точках, в которых равна нулю или не существует. Если на интервале , то график функции является выпуклым на этом интервале, если же , то на интервале график вогнутый .

 

Найдем точки перегиба

 

Составим таблицу

 

		-2
	-		+	не существует	+
				не существует

 

Точка - точка перегиба.

Дополнительные точки:

8. Построим график функции, используя результаты исследования.

 

 

 

Замечание:При построении графика масштабы по оси OX и OY могут не совпадать.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Заочное отделение