Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства

Рассмотрим задачу отыскания функции, для которой заданная функция является производной.

Определение 1.1

Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a,b). Если функция F(x) имеет производную на (а,b) и для всех выполняется равенство.

(1)

то функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b).

Пример

Если F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), то очевидно, и функция F(x)+С где С-любая постоянная, является первообразной для функции f(x), на интервале (a,b).Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 1.1

Пусть F₁(x) и F₂(x) - любые две первообразные для функции f(x) на интервале (a,b). Тогда для всех выполняется равенство

где С - некоторая постоянная. (Без доказательства)

Вывод. Если F(x) - одна из первообразных функций для функции f(x) на интервале (a,b), то любая первообразная Ф(x) для функции f(x) на интервале (а,b) имеет вид

Ф(х)=F(х)+С, где С - некоторая постоянная.

Определение 1.2

Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на интервале (а,b), называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается

Символ называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральная функция.

Таким образом, если F(х) - какая-либо первообразная функции f(x) на интервале (а,b). то пишут

Определение 1.3

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием функции f(x).

Операция интегрирования является обратной операции дифференцирования.

Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что одни процесс является обратным по отношению к другому, был открыт И. Ньютоном (1642-1727) и Г.Лейбницем (1646-1716). Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга.

Свойства неопределенного интеграла

Будем предполагать, что все рассматриваемые функции определены и интегрируемы на одном и том же конечном или бесконечном промежутке.

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5. Пусть F(x) есть первообразная для функции f(x).

Тогда

Таблица основных неопределенных интегралов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. ;

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Пример1. Найти неопределенный интеграл

Пример 2. Найти . Это интеграл вида . По свойству 5 неопределенных интегралов имеем

Пример 3. Найти .

Воспользуемся формулами тригонометрии.

Отсюда

Операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функции. Иначе обстоит дело с операцией интегрирования. Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями, например:

Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию, не являющеюся элементарной. Перечисленные функции находят приложение в различных отраслях знаний. Например, интеграл называется интегралом Пуассона или интегралом ошибок. Он используется в статистике, теории теплопроводности и диффузии. Вследствие важности приложений эти функции изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции, для них составлены графики и таблицы.