Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона распределения случайной величины X является функция распределения.

Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция , которая для любого числа равна вероятности события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, меньшее, чем , т. е. .

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точкаX попадет левее данной точки x (рис. 2).

Рис. 2

Функция F(x) существует как для дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. ;

2. - неубывающая функция, т. е. , если ;

3. , ;

4. - непрерывна слева в любой точке x, т. е. , ;

5. .

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:

,

где суммирование ведется по всем индексам , для которых . Для дискретной случайной величиныфункция распределения естьразрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

С помощью функции распределения можно дать более строгое определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: . Поэтому для непрерывной случайной величины X имеем

. (*)

Для непрерывных случайных величин кроме функции распределения существует еще один удобный способ задания закона распределения – плотность вероятности.

Пусть функция распределения данной непрерывной случайной величины X непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Плотностью распределения непрерывной случайной величины X (или плотностью вероятности, или просто плотностью) называется функция .

Функцию называют также дифференциальной функцией распределения.

Плотность распределения любой непрерывной случайной величины неотрицательна, т. е. ; обладает свойством нормированности:

; .

График функции называется кривой распределения.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой

(1)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток определяется равенством:

. (2)

Числовые характеристики случайных величин