Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,

ТЕМА 7. Интегральное исчисление функции одной переменной.

При решении задач этой темы необходимо знать:

1. Определение и свойства неопределенного интеграла.

2. Таблицу основных интегралов.

3. Основные методы интегрирования.

4. Стандартные методы интегрирования наиболее часто встречающихся классов функций.

5. Определение, свойства и способы вычисления определенного интеграла.

6. Несобственные интегралы и их свойства.

7. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

 

Таблица основных интегралов

	4а

 

 

Образец решения варианта

 

Задание 1: Вычислить интеграл:

 

а)	б)	в)
г)	д)	е)
ж)	з)	и)
к)	л)	м)
н)	о)	п)
р)	с)	т)
у)	ф)

Решение:

а) Найдем интеграл, применив свойства неопределенного интеграла и формулы (1) и (2) табличного интегрирования:

 

Интегралы (б – л) решим методом замены переменной.

 

б)

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}

в)

{для нахождения интеграла применим формулу (12)}

 

г)

{для нахождения интеграла применим формулу (4)}

 

д)

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}

 

 

е)

{для нахождения интеграла применим формулу (5)}

 

ж)

{для нахождения интеграла применим формулу (8)}

 

з)

{для нахождения интеграла применим формулу (10)}

 

и)

{для нахождения интеграла применим формулу (9)}

 

к)

{для нахождения интеграла применим формулу (3)}

 

л)

{для нахождения интеграла применим формулу (7)}

 

Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,

используя формулу (13):

 

м)

{для нахождения интеграла применим формулу (6)}

н)

{второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)}

в итоге получаем

 

о) .

Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби:

Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что

Тогда

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим:

{для нахождения интегралов применим формулу (3)}

 

п) .

Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть этой дроби путем деления числителя на знаменатель:

Выделим полный квадрат в знаменателе правильной рациональной дроби:

Возвращаясь к исходному интегралы, получим:

{для нахождения первых трёх интегралов применим формулу (2), для четвёртого – формулу (1), последний интеграл найдем c помощью формулы (7)}

 

р) .

Найдем интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что

Тогда .

Интегрируя почленно полученное равенство, получим::

{для нахождения интегралов применим формулу (3)}

 

с) .

Произведем замену:

Получим:

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и есть 4, поэтому введем следующую замену:

{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (3)}

 

т) .

Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим:

 

 

у)

{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)}

;

 

ф)

{для нахождения интеграла применим формулу (7)}

 

 

Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

а)

б)

Решение:

а) Несобственный интеграл I рода.

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}

- интеграл расходится.

 

б) Несобственный интеграл II рода.

является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому:

{для нахождения интеграла применим формулу (8)}

- интеграл сходится.

 

Задание 3:Вычислить:

а) площадь фигуры, ограниченной линиями: и ;

б) длину дуги кривой:

,

в) объем тела, полученного вращением фигуры , вокруг оси .

 

Решение:

а) Существуют несколько формул для вычисления площадей плоских фигур.

§ Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат, ограниченной линиями - сверху, - снизу, слева прямой , справа прямой определяется формулой (14);

 

§ Площадь фигуры, ограниченной кривой заданной параметрически уравнениями , определяется формулой (15);

 

 

§ Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, ограниченной кривой и лучами , , определяется формулой: (16).

 

В нашем случае линии, ограничивающие фигуру, заданы в декартовых координатах, поэтому мы будем использовать формулу (14).

 

Найдем координаты точек пересечения линий:

; ; .

;

 

 

б) В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой.

§ Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением длина дуги находится по формуле (17);

 

§ Для кривой, заданной параметрически уравнениями длина дуги находится по формуле (18);

 

§ Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением длина дуги находится по формуле (19).

 

В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (18).

;

 

 

в) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: (20).

 

Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции и прямыми , , , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (20), равен: (21).

 

В условиях нашей задачи , , .

 

.

 

 

Контрольная работа №7.

Вариант 17.

Задание 1: Вычислить интегралы

 

а)	б)	в)
г)	д)	е)
ж)	з)	и)
к)	л)	м)
н)	о)	п)
р)	с)	т)
у)	ф)

 

Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

 

а)

б)

Задание 3: Вычислить:

 

а) площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

.

б) длину дуги кривой:

.

в) объем тела, полученного вращением вокруг оси области, ограниченной графиками функций:

.