Оценка качества уравнения множественной регрессии

В случае множественной регрессии оценка его качества включает в себя:

- оценку значимости уравнения регрессии в целом;

- оценку значимости параметров уравнения регрессии.

Качество модели множественной регрессии в целом оценивается с помощью показателя детерминации, определяемого как квадрат показателя множественной корреляции R².

Значение показателя детерминации зависит от числа факторов, включенных в уравнение регрессии. Чем больше число факторов m, тем больше значение показателя детерминации R² приближается к единице. Поэтому на практике, чтобы исключить возможное завышение тесноты связи при оценке качества уравнения регрессии, используют скорректированный показатель детерминации:

.

Низкое значение показателя детерминации означает, что в регрессионную модель не включены существенные факторы - с одной стороны, а с другой стороны - рассматриваемая форма связи не отражает реальные соотношения между переменными, включенными в модель. В этом случае требуются дальнейшие исследования по улучшению качества модели и увеличению ее практической важности.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, также как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

или .

Во множественной регрессии часто оценивается значимость не только уравнения в целом, но и значимость фактора, дополнительно включенного в регрессионную модель. Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличить долю объясненной вариации результативного признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут вводится в модель в разной последовательности. Ввиду корреляции между факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для оценки значимости включения фактора x_i в регрессионную модель после того как в нее уже включены факторы x₁, x₂,..., x_i-1, x_i+1,...,x_m служит частный критерий Фишера . Значение частного F-критерия определяется по формуле

,

где - показатель детерминации, определенный без включения в модель регрессии фактора x_i.

Расчетные значения частных F-криетриев сравниваются с табличным значением при заданной доверительной вероятности p и числах степеней свободы k₁=1 и k₂=n-m-1. Если расчетное значение превышает табличное, то дополнительное включение фактора x_i в модель статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии b_i при факторе x_i статистически значим.

Таким образом, с помощью частных F-криериев можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии с учетом предположения, что каждый соответствующий фактор x_i вводится в уравнение множественной регрессии последним.

Частные F-критерии часто используются на стадии формирования уравнения регрессии.

На основе частных F-критериев могут определены расчетные значения t-криериев Стьюдента для оценки значимости коэффициентов чистой регрессии b_i:

.

Оценка значимости коэффициентов множественной регрессии по критерию Стьюдента может быть проведена и без расчета частных F-критериев. В этом случае, как и в парной регрессии, используется формула

,

где - стандартная ошибка коэффициента регрессии b_i.

Для линейного уравнения множественной регрессии стандартные ошибки коэффициентов чистой регрессии определяются по формуле:

.

Расчетные значения t-критерия Стьюдента сравниваются с табличным при заданном уровне значимости a и числе степеней свободы k=n-m-1. Если расчетное значение превышает табличное, то коэффициент регрессии b_i является статистически значимым. т. е. существенно отличается от нуля.