ПОНЯТИЕ О Ф.Н.П.,ЕЁ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ

ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Рассматривая функцию одной переменной, мы имели связь y= f(x) одной независимой переменной x и одной зависимой y. В жизни, на практике часто имеется сразу несколько переменных величин. Например: Vцилиндра= R²H. Температура Т нагретого тела зависит от точки (x, y, z) где она измеряется, и от времени t, через которые она измеряется, т.е. T= f(x, y, z, t) и т.п. Среди этих переменных несколько независимых переменных - аргументов и одна зависимая - функция. Для простоты рассмотрим три переменных x, y и z. При этом x и y могут принимать произвольные значения, а z принимает уже соответствующее значение. Множество всевозможных пар (x, y), которые могут рассматриваться, называют областью изменения переменных x и y. Будем обозначать её через Д.

Определение 1: Если каждой паре (x, y) значений независимых друг от друга переменных x и y из некоторой области их изменения Д, соответствует некоторое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определяемая в области Д.

Обозначают: z= f(x, y), z= (x, y) и т.п. Область Д называют областью определения функции 2-х переменных. Как и в случае одного переменного, функция 2-х переменных существует не для любых значений x и y.

Определение 2: Множество всех возможных пар (x, y) значений аргументов x и y, при которых функция не теряет числового смысла, т.е. принимает единственное действительное значение, называют областью существования функции.

Область существования – самая широкая из всех областей определения. Если дана функция и ничего не сказано об области определения, то под ней подразумевается область существования функции. Каждая пара (x, y) геометрически есть точка на плоскости. Изображая пары из Д, мы получим область на плоскости – её тоже называют областью определения функции. В частности областью определения может быть вся плоскость. Чаще же областью определения является часть плоскости, ограниченная некоторой линией. Эту линию называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называют внутренними точками области. Область из одних внутренних точек называется открытой, область вместе с границей называется замкнутой.

Область называется ограниченной, если она вся может быть заключена в круг радиуса R с центром в начале координат.

 

Пример 1: ; ;

Д- полуплоскость: замкнутая, неограниченная.

 

y

2

Пример 2: ; ;

x

Д- вся плоскость вне круга R=2: незамкнутая, неограниченная.

Определение функции трёх и более переменных – аналогичные.

 

 

Определение 3:если каждой совокупности значений переменных (x, y, z,…t) из области значения Д, соответствует определённое значение переменной , то называется функцией независимых переменных x, y, z,…t, определённой в области Д. Обозначают: = f(x, y, z,…t) и т.п.

Понятия области определения и существования аналогичные. В случае функции трёх независимых переменных = f(x, y, z) область определения есть геометрически часть трёхмерного пространства, ограниченная некоторой поверхностью.

Функция одной переменной y= f(x) геометрически изображается графиком. Функция 2-х переменных тоже может изображаться графиком, но пространственным. Функция z= f(x, y) каждой точке (x, y) из области Д сопоставляет аппликату z. Совокупность концов перпендикуляров образует некоторую поверхность,

z= f(x, y) – её уравнение.

 

Пример 1: - задаёт верхнюю полусферу радиуса R с центром в точке (0,0,0)

Пример 2: z= x² + y² - задаёт параболоид вращения.

Построение графиков функции 2-х переменных и даже их представление связано с трудностями. Помогают часто сечения поверхности плоскостями, параллельными некоторой координатной плоскости, например X0Y. Полагают, что z= c. Тогда, c= f(x, y) – линия пересечения. Её проекция на плоскость X0Y, есть плоская кривая. Полагая, что , получим другую линию. Затем , и т.д.

Получим семейство линий, по которым можно судить о виде поверхности – где она круче, где положе и т.п. Сами линии называются линиями уровня. Они применяются в картографии и называются горизонталями, изотермы, изобары – в метеослужбе.

 

§2 ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Для простоты ограничимся случаем двух переменных, хотя всё в равной мере верно и для большего числа переменных.

 

Определение 1: Окрестностью радиуса точки М₀ (x₀, y₀) называется совокупность всех точек (x, y), удовлетворяющих неравенству , т.е. совокупность всех точек внутри круга радиуса с центром в точке М₀. У точки М₀, очевидно, бесконечно много окрестностей, - любое число больше 0. Если говорим, что некоторое свойство функции z= f(x, y) выполняется в области точки М₀, то имеется в виду, что свойство выполняется в некоторой - окрестности этой точки.

Пусть дана функция z= f(x, y) , определённая в некоторой области Д и М₀(x₀, y₀) – некоторая точка из Д (внутренняя или на границе).

Определение 2: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки M(x, y) к точке M₀(x₀, y₀) если для числа найдётся число такое, что для всех точек M(x, y) из -окрестности точки М₀, выполняется неравенство . Символически записывается: или .

Определение 3: функция z= f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(x₀, y₀) если она определена в этой точке и выполняется равенство: - (1) причём любым образом, оставаясь в области определения Д. Можно считать координаты точки М(x, y) полученными из x₀ и y₀ приращением на и соответственно т.е. . Но, тогда при и , и и поэтому (1) запишется или .

Выражение называется полным приращением функции z= f(x, y) в точке М₀(x₀, y₀), т.к. приращение функции вызвано одновременным приращением обоих аргументов. Но тогда (1), запишется в виде

- таким образом, функция z= f(x, y) непрерывна в точке (x₀, y₀), если её полное приращение стремится к нулю, когда стремятся к нулю приращения аргументов в этой точке.

Заметим, что кроме полного приращения функции рассматриваются и частные приращения и , вызванные приращениями в точке М₀ лишь одного аргумента x или y.

Определение 4: Если функция z= f(x, y) непрерывна в каждой точке области Д, то её называют непрерывной в этой области.

Если функция не является непрерывной в точке, то её называют точкой разрыва функции. В ней либо функция не определена (а в окрестности определена), либо не существует предел функции в этой точке, либо этот предел не равен значению функции.

Например: имеет разрыв в точках целой прямой y= x т .к. она в них не определена, а во всех остальных точках плоскости определена. У функций 3-х переменных точки разрыва могут образовывать целую поверхность.

Все теоремы о пределах и непрерывности суммы, произведения, частного, рассмотренные ранее для функции одной переменной, верны и для ф.н.п.

 

§3 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Снова говорим о функции 2-х переменных ради простоты. Пусть имеется точка M₀(x₀, y₀). Аргументу x дано приращение и вычислено частное приращение . Определение: Частной производной по x от функции z= f(x, y) в точке М₀ называется предел отношения частного приращения функции по x к вызвавшему его приращению аргумента , когда .

Обозначают частную производную любым из символов: , , , .

Исходя из определения .

Аналогично определяется и частная производная по y: . Применяются и обозначения , , .

Частное приращение по x зависит только от изменения x, y сохраняет постоянное значение, поэтому и частная производная по x, зависит только от x и должна вычисляться в предположении, что y – есть постоянная.

Аналогично должна вычисляться в предположении, что x – постоянная, y – переменная. Но тогда правила вычисления частных производных совпадают с правилами для функций одной переменной.

Пример 1: . . .

Для случая 3-х и более переменных определения частных производных аналогичные и вычисления тоже.

Так, для ,например, и т.п.

Частные производные функции 2-х переменных имеют простой геометрический смысл. Можно показать, что частная производная в точке М₀ равна угловому коэффициенту касательной к линии сечения поверхности z= f(x, y) в точке М₀ плоскостью y= y_0: Частная производная равна угловому коэффициенту касательной в точке М₀ к линии сечения поверхности

z= f(x, y) плоскостью x= x₀:

Дадим понятие частных дифференциалов функции z= f(x, y). Частным дифференциалом функции z= f(x, y) по x называется произведение частной производной на приращение : . Если под дифференциалом независимого переменного понимать и здесь приращение , то . Аналогично: . В случае 3-х независимых переменных имеем 3 частных дифференциала: , , .

 

§4 ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ Ф.Н.П.