Производная по направлению

8.1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня.

Если в каждой точке области пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле данной величины.

Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина есть числовая функция.

Примерами скалярных полей являются: поле электрического потенциала, давление в атмосфере, поле температур и другие.

Если в пространстве введена декартова система координат, то

.

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня – геометрические места точек, в которых скалярная функция поля принимает одно и то же значение.

Поверхности уровня данного скалярного поля определяются уравнением.

.

Пример. Найти поверхности уровня скалярного поля

.

Решение. Область определения данного скалярного поля находится из неравенства

, т.е. .

Неравенство показывает, что поле определено вне кругового конуса и на нем самом, кроме его вершины .

Поверхности уровня определяются уравнением

, где , т.е.

или .

Это есть семейство круговых конусов, расположенных вне конуса, с общей осью симметрии с общей вершиной , в которой данное поле не определено, причем сам конус также входит в это семейство. Скалярное поле называется плоским, если существует декартова система координат, в которой поле задается числовой функцией от переменных.

Для

.

Геометрической характеристикой плоских скалярных полей служат линии уровня – геометрические места точек, в которых скалярная функция имеет одно и то же значение.

Линии уровня определяются уравнением

, где .

Пример. Написать уравнение линии уровня скалярного поля , проходящей через точку , если поле задано неявно уравнением

.

Решение. Линии уровня данного скалярного поля определяются уравнением

, или .

Учитывая тот факт, что , при найдем:

.

Следовательно, уравнение линии уровня запишется в виде .

8.2. Производная от функции по данному направлению

Пусть скалярное поле определено в области . Зафиксируем точку и выберем некоторое направление, определяемое вектором ; если существует предел , то его называют производной функции по данному направлению в заданной точке , где

, , .

Пусть в пространстве введена декартова система координат, тогда . Пусть функция дифференцируема в точке . Производную функции в точке по направлению вектора вычисляют по формуле

.

- направляющие косинусы вектора .

Пример. Вычислим производную скалярного поля

в точке параболы по направлению кривой (в направлении возрастания абсцисс).

Решение. Пусть касательная к кривой в точке образует с осью угол : . Тогда

.

Производная по направлению для плоского скалярного поля будет равна

.

8.3. Градиент скалярного поля

Градиентом скалярного поля в данной точке называется вектор

.

Градиент и производная по направлению связаны формулой

,

где .

по величине и направлению дает наибольшую скорость изменения функции .

в данной точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через точку .