Как найти площадь криволинейной трапеции?

Тема: Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла

Задачи: выучить определение и формулы нахождения площади криволинейной трапеции;

рассмотреть различные случаи нахождения площади криволинейной трапеции;

Уметь вычислять площадь криволинейной трапеции.

План:

Криволинейная трапеция.

Формулы вычисления площади криволинейной трапеции.

Криволинейной трапецией называется фигура, которая ограничена графиком непрерывной, неотрицательной функции f(x) на промежутке [a;b], отрезками прямых x=a и x=b, а также отрезком оси абсцисс между точками a и b.

Изображения криволинейных трапеций:

Теперь перейдём к возможным вариантам расположения фигур, площадь которых надо вычислить на координатной плоскости.

Первым будет самый простой вариант (первый рисунок), обычная криволинейная трапеция, как в определении. Здесь ничего не надо придумывать просто берём интеграл от a до b от функции f(x). Найдём интеграл - будем знать и площадь данной трапеции.

Во втором варианте наша фигура будет ограничена не осью абсцисс, а другой функцией g(x). Поэтому, что бы найти площадь CEFD, нам надо сначала найти площадь AEFB (с помощью интеграла от f(x)), потом найти площадь ACDB (с помощью интеграла от g(x)). И искомая площадь фигуры CEFD, будет разница между первой и второй площадями криволинейной трапеции. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл.

Третий очень похож к первому, но только наша трапеция размещена, не над осью абсцисс, а под ней. Поэтому здесь надо брать такой же интеграл, только со знаком минус, потому что значение интеграла будет отрицательным, а значение площади должно быть положительное. Если вместо функции f(x) взять функцию –f(x), то её график будет такой же просто симметрически отображен относительно оси абсцисс.

И четвёртый вариант, когда часть нашей фигуры находится над осью абсцисс, а часть под ней. Поэтому нам надо сначала найти площадь фигуры AEFB, как в первом варианте, а потом площадь фигуры ABCD, как в третьем варианте и потом сложить их. В итоге мы получим площадь фигуры DEFC. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл.

Вопросы для самопроверки:

Какая фигура называется криволинейной трапецией?

Как найти площадь криволинейной трапеции?