Понятие функции, её свойства

Переменная величина y называется числовой функцией переменной величины x, если каждому возможному числовому значению величины x ставится в соответствие по какому-нибудь правилу или закону единственное числовое значение величины y.

Обозначение: или , где x — это независимая переменная, или аргумент; y — это зависимая переменная или функция.

Множество задания функции X и множество значений функции Y для числовых функций традиционно называют областью определения функции (ООФ) и областью значений функции (ОЗФ).

Область определения и область значений функции

Областью определения функции (ООФ) называется множество числовых значений, которые может принимать аргумент .

Областью значений функции (ОЗФ) называется множество числовых значений, которые принимает функция, если ее аргумент х принадлежит области определения функции.

ООФ – это основная характеристика любой функции, с учетом которой исследуются все остальные характеристики;

находится чаще всего как подмножество X множества действительных чисел, на котором выполнимы все операции, определяющие значение функции у по значению ее аргумента х; в этом случае ООФ называют естественной областью определения функции;

 может находиться по смыслу функции и в этом случае будет более узкой, чем естественная ООФ;

 приняты и другие обозначения ООФ, например, .

Пример 1. Найти область определения функции .

ООФ:

ООФ записана из ограничения по делению: на ноль делить нельзя.

Пример 2. Найти область определения функции

ООФ: .

ООФ определена операцией извлечения корня квадратного, которая имеет смысл только для неотрицательных чисел.

Нули функции и промежутки знакопостоянства.

Нулем функции называется такое значение ее аргумента, при котором значение функции равно нулю: .

Пример 3. Найти промежутки знакопостоянства функции .

Решение. ООФ: ;

Данная функция имеет два нуля, которые разбивают ее ООФ на промежутки знакопостоянства функции.

Знак функции на каждом из обозначенных промежутков можно определить по точке-представительнице промежутка, вычислив значение функции в ней:

Четность, нечетность функций

Функция называется четной функцией, если выполняются два условия:

1) её ООФ симметрична относительно нуля;

2) .

Функция называется нечетной функцией, если выполнены два условия:

1) её ООФ симметрична относительно нуля;

2) .

Пример 4. Исследовать функцию на чётность/нечётность.

Решение. ООФ: => ООФ симметрична относительно нуля.

Вычисляем у(-х), используя четность основных элементарных функций:

Равенство у(-х)=у(х) выполняется для всех , поэтому данная функция является четной.

Пример 5. Исследовать функцию на чётность/нечётность.

Решение. . ООФ является симметричной относительно нуля.Вычисляем у(-х):

Равенство у(-х)=у(х) выполняется для всех . Поэтому данная функция является нечетной.

Пример 6. Исследовать функцию на чётность/нечётность.

Решение. . ООФ не является симметричной относительно нуля. Поэтому свойством четности или нечетности эта функция обладать не может. Следовательно, она относится к функциям общего вида, которые не являются ни четными, ни нечетными.