Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме

Неравенство Коши-Буняковского.

Скалярным произведением векторов х,у принадлеж. Rⁿ: x=(x₁,…,x_n), y=(y₁,…y_n) называется число (х,у)=

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо неравенство

Доказательство:

Возьмем произвольное число t и составим вектор

Тогда

Легко заметить квадратный трехчлен, если =α, =β, а =γ, т.е.

Квадратный трехчлен при любом значении t неотрицателен, поскольку ≥0, следовательно, дискриминант данного трехчлена неположителен.

D= β²- α γ≤0, подставим обратно выражения в неравенство:

- ≤0, или , чтд.

Т.о., нер-во Коши-Буняковского равносильно неравенству

Неравенство треугольника.

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо соотношение, называемое неравенством треугольника:

Доказательство:

В силу неравенства Коши-Буняковского, согласно которому ,

²+2 + ²=( + )²

Извлечем корень из обеих частей этого неравенства без потери знака, т.к. обе части заведомо положительны.

Получим:

Линейная независимость лестничной системы векторов.

Предложение: любая лестничная система векторов линейно независима.

Доказательство:

Предположим противное. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть, например, а линейно выражается через b, c,… , то есть

Но такое равенство невозможно, поскольку первая координата вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора равна нулю (из определения лестничной системы векторов первая координата всех последующих векторов равна нулю).

Полученное противоречие доказывает, что линейная система векторов линейно независима.

4. Однозначность разложения вектора по базису.

Предложение: Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
Доказательство:

Допустим ,что существуют два способа разложения вектора а по базису

Тогда

И

Если вычесть эти два равенства, получим, что

Так как векторы базиса линейно независимы, то они не равны нулю.

Значит, =0, =0, … , =0

То есть k=l, и существует лишь один способ разложения вектора по базису.

Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.

Используя формулу умножения комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

= /используя тригонометрические формулы косинуса и синуса суммы/

=

Т.о., для умножения z₁ на z₂ модули этих чисел следует перемножить, а аргументы сложить.

Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.

, где z₂≠0.

Используя формулу деления комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

=

/учитывая основное тригонометрическое тождество, согласно которому =1/

= ( )+ ( )i=

/используя тригонометрические свойства косинуса и синуса суммы и разности/

=

Таким образом, для нахождения частного z₁/z₂ следует модуль числа z₁ разделить на модуль числа z₂, а из аргумента числа z₁ вычесть аргумент числа z₂