Тригонометрические и гиперболические комплексные функции

Функции вводятся аналогично показательной функции — как суммы соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости рядов:

(5.4)

(5.5)

На основе этих функций определяются и другие тригонометрические и гиперболические функции:

Из определений следует, что функции являются четными, а остальные — нечетными.

Сравнивая формулы (5.4) и (5.5) с формулой (5.1) — определением функции , получаем следующие формулы, справедливые при любом

(5.6)

(5.7)

Формулы (5.6) и (5.7) — формулы Эйлера; они связывают тригонометрические и гиперболические функции с показательной. Формула (5.6) при , где — действительная переменная, рассмотрена выше.

Так как формулы (5.6) и (5.7) верны при любых значениях , то, заменяя на и учитывая, что и — нечетные, a и — четные функции, можем записать

Комбинируя эти формулы с (5.6) и (5.7), получаем представление тригонометрических и гиперболических функций через показательную функцию:

, (5.8)

(5.9)

Эти формулы позволяют использовать при исследовании гиперболических и тригонометрических функций в комплексной области свойства показательной функции и не обращаться к определениям (5.4),(5.5), т.е. не рассматривать более сложные операции — действия с рядами.

Так, с помощью (5.8) и (5.9) устанавливается справедливость таких формул сложения, как

,

.

и других формул, в частности формул тригонометрии.

Кроме того, что тригонометрические и гиперболические функции выражаются через , они еще и связаны между собой. Соответствующие формулы получаются из (5.8) и (5.9)

, . (5.10)

Отсюда, в частности, получаются такие формулы, как

Как и в действительной области, тригонометрические функции и являются периодическими и их период равен . Это следует из формул (5.8) (см. пример 3). А гиперболические функции, не будучи периодическими в действительной области, в комплексной области являются периодическими, их период, как и у функции , — мнимое число (это следует из рассмотрения равенств (5.9)).

Замечательным свойством, не имеющим аналога в действительной области, является свойство неограниченности (по модулю) функций и . Эти функции могут принимать любые значения, в частности большие единицы. Например, для числа по формуле (5.8) имеем: .

Пример 5. Найти и для числа .

Решение.По формуле (5.10) , поэтому , , следовательно, и, так как , то .

Пример 6. Найти , если .

Решение. . , .

Пример 7. Найти модуль и аргумент числа , если .

Решение. . , , следовательно, .

Комплексный логарифм

Понятие функции, обратной показательной функции, как и в действительной области, связано с понятием логарифма числа.

Логарифмом комплексного числа называется число такое, что справедливо равенство ; обозначается . Таким образом, .

Для нахождения логарифма числа , т.е. для нахождения действительной и мнимой частей числа , запишем число в показательной форме, а число будем искать в алгебраической форме: .

Тогда равенство или есть равенство чисел, записанных в показательной форме, и из него находим , то есть . Для искомого числа получаем выражение:

, где .

Из этого следует, что логарифм комплексного числа определяется неоднозначно; полученное выражение определяет множество значений логарифма данного числа ; обозначается

(6.1)

Для каждого фиксированного значения получаем определенное число — значение логарифма числа ; если оно называется главным значением логарифма:

(6.2)

Пример 1. Найти — главные значения и для следующих чисел:

а) ; б) .

Решение. а) , , . Тогда по формуле (6.2) , а по формуле (6.1) , .

б) , , . Тогда по формуле (6.2) , а по формуле (6.1) , .

Пример 2.Найти модуль, аргумент, действительную и мнимую части числа .

Решение.Найдем модуль и аргумент числа , , .

По формуле (6.2) получаем . Поэтому , , .

Так как и , то точка, соответствующая числу расположена в первой четверти и, следовательно, .

Замечание 1. Введение понятия логарифма числа позволяет определить в комплексной области степень с любым комплексным показателем и показательную функцию с любым комплексным основанием .

При и , где — натуральное число, степени и рассмотрены выше; при и , где — целое число , определение к также очевидно.

В общем случае при любом комплексном степень определяется формулой

(6.3)

Аналогично вводится функция с любым комплексным основанием

(6.4)

В силу бесконечной значности логарифма, каждому числу соответствует бесконечное множество значений степени , определяемой по формуле (6.3), и бесконечное множество чисел, определяемых по формуле (6.4) при . Среди этих множеств выделяются главные значения, которые соответствуют главным значениям логарифмов.

Пример 3. Показать, что выражение принимает только действительные значения.

Решение.Используем формулу (6.4) . Найдем значение .

, .Поэтому действительное число при любом .

Пример 4. Найти , где — корень уравнения , удовлетворяющий условию .

Решение.Корнем уравнения являются числа Условию удовлетворяет . Для найденного корня , , тогда . Поэтому ответ .

Замечание 2. Введение понятия логарифма комплексного числа позволяет решать в комплексной области показательные уравнения. Простейшим таким уравнением является уравнение вида . Решение этого уравнения сводится к нахождению значений выражения , то есть .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. , получаем , где .

Пример 6. Найти из уравнения .

Решение. Используем формулу , тогда имеем уравнение , которое сводится к квадратному уравнению . Корни квадратного уравнения и . Тогда и

Геометрически это точки, лежащие на прямых и параллельных мнимой оси, расстояние между которыми равно .

Как видим, логарифмическая функция вводится, как функция, обратная к показательной, т.е. как решение уравнения , значения функции при любом определяются по формуле (6.1).

Функция, очевидно, многозначная и отображает плоскость на каждую из полос:

, или .

В плоскости с разрезом по лучу возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос , в частности функция — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу (см. рис. 6.1).

В плоскости с разрезом также возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос , в частности функция — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу . Выделение ветви определяется заданием значения функции в одной из точек области.

Пример 7. Найти решение уравнения при условии .

Решение. Так как дополнительное условие задает значение функции в точке действительной оси, то рассматривается плоскость с разрезом по действительной оси, где главное значение аргумента определяется неравенством . Из дополнительного условия определяем значение , соответствующее выбранной ветви , следовательно, и :

, значит, . Находим решение уравнения . . При получаем ответ .