Отображения на комплексной плоскости

Лекция 2. Функции комплексного переменного

Основные понятия функций комплексного переменного

Пусть заданы два множества и комплексных чисел.

Если каждому значению ставится в соответствие число , то говорят, что на множестве задана функция комплексного переменного, т.е.

Если записать комплексные числа и в алгебраической форме: , то замечаем, что действительная и мнимая части функции являются функциями действительных переменных и и .

Задание функции эквивалентно заданию на множестве двух функций двух действительных переменных.

Кроме того, если для числа записать модуль и аргумент для и при если и если , то получим аналогичное утверждение. Задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. Первая из функций определяет модуль функции: , вторая — аргумент функции: , где в точках, в которых если и если .

Пример 1.Найти значение функции в точках и .

Решение. .

.

Пример 2. Найти , если а) ; б) .

Решение. а) , , . б) ,

, .

Отображения на комплексной плоскости

Задание функции комплексного переменного с областью определения и областью значений есть отображение множества на множество , (рис. 3.1).

Точка называется образом точки при отображении , точка — прообразом.

По определению предполагается однозначность отображения, т.е. каждому числу соответствует единственное значение , но при этом может оказаться, что точка является образом двух или более точек (на рис. 2.1 это точка , так как и ).

Если любое значение является образом только одной точки , то отображение называется однолистным в области , в противном случае — неоднолистным. Из определения следует, что однолистное отображение является взаимно однозначным отображением.

Простейшими однолистными (во всей комплексной плоскости) отображениями являются отображения . Первое отображает любую область, в том числе и всю комплексную плоскость, на себя, второе — верхнюю полуплоскость на нижнюю полуплоскость, а нижнюю на верхнюю.

Примером неоднолистного в отображения является . Действительно, различным точкам, например и , соответствует одно значение , а точкам — одно значение . Неоднолистным отображением является и . Каждой точке , соответствуют значений . В силу этого отображение если называют n-листным, а отображение — двулистным.

Из определения получаем и условие однолистности отображения, отображение является однолистным на множестве , если для любых точек и , принадлежащих , равенство выполняется тогда и только тогда, когда . Иначе: отображение однолистно на множестве , если множество не содержит ни одной пары чисел и , таких, что и выполняется условие .

Пример 3. Найти область однолистности функции .

Решение.Во всей комплексной плоскости отображение не является однолистным. Но можно найти множество, где условие однолистности будет выполнено, то есть множество, которое не содержит двух различных точек , для которых выполняется равенство . Рассмотрим разность . При равенство выполняется, если . Таким образом, функция однолистна в области, которая не содержит две точки такие, что . Эти точки надо расположить на границе области. Так как этому условию удовлетворяют точки симметричные начала координат, то в качестве границы области следует взять любую кривую, проходящую через начало координат. Например, такой областью является полуплоскость . Причем, она отображается во всю комплексную плоскость с разрезом по действительной полуоси, которая пробегается дважды. На рис. 3.2 направление обхода указано стрелкой. Аналогично полуплоскость отображается во всю плоскость с разрезом, только меняется направление обхода.

Пример 4. Исследовать на однолистность отображения: а) ; б) ; в) .

Решение.а) Отображение однолистно во всей комплексной плоскости, так как для и равенство выполняется только тогда, когда .

б) При и имеем , если . Отображение однолистно в любой области, не содержащей начало координат.

в) Во всей плоскости функция не является однолистной, так как, например, для точек и значения функции совпадают, так как .

Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей углу раствора с вершиной в начале координат. Каждый такой угол функция отображает на всю плоскость с разрезом по лучу (рис. 3.3).