Критерий согласия Пирсона

Расчёт моды для дискретного распределения.

 

В данном пункте буду рассчитывать моду для дискретного распределения.

Мода – это то значение случайной величины, которому соответствует наибольшая вероятность.

Выборочная мода (после эксперимента) – это то значение числовой выборки, которому соответствует наибольшая частота встречаемости.

Если мод будет две, то говорят, что существует двумодальное распределение. В нашем случае – то значение числовой выборки, которое пользуется наибольшим спросом (чаще всего встречается).

 

Вычисление медианы.

 

Медиана - это то значение числовой оси, для которой справедливо: .

Квантиль вероятности - это такое число на числовой оси, для которого справедливо:

.

Следствие: , то есть медиана – это квантиль 0,5.

Выборочная медиана рассчитывается по формулам:

Для n – четных:

Для n – нечетных:

Где - это i-я порядковая статистика;

- это значение в вариационном ряду с номером i.

n=98 – чётное

Т.о. значения меньшие 1 принимают 50% и значения большие и равные 1 принимают 50%

 

 

Коэффициент эксцесса - это коэффициент сравнения полигона частот с крутизной нормального распределения: , где - расчетные. У нормального распределения

 

 

Если по расчетным данным мы построим график плотности нормального распределения, то при полигон частот будет делать более крутой вираж:

Правило трёх сигм.

 

Для нормального распределения почти все значения случайной величины лежат в интервале .

Проверим, выполняется ли правило трёх сигм для изучаемой случайной величины:

3,734

-2,081

0,83

В моём случае интервал имеет вид (-2,081; 3,734)

 

Вывод: вне интервала (-2,081; 3,734) лежит не более одного значения эксперимента из 98. Таким образом, правило тёх сигм выполняется. Однако, сделать вывод, что мы имеем нормальное распределение нельзя, так как коэффициент асимметрии отличен от нуля, и, следовательно, распределение не носит симметричных характер; коэффициент эксцесса также не равен нулю и коэффициенту асимметрии; также не совпадают мода и медиана. На основании вышесказанного можно сделать вывод, что мы не имеем дело с нормальным распределением.

 

Критерий согласия Пирсона

 

Используя критерия Пирсона, проверим, согласуются ли полученные данные с гипотезой о распределении Пуассона .

Для распределения Пуассона известно:

;

;

;

;

;

Уровень доверия ; уровень значимости ;

Дискретная случайная величина может принимать или конечное число значений или счётное число значений, т.е. - её значения, , где N – число различных значений эксперимента.

;

;

Выдвигаем основную гипотезу

В таблице 10 приведено использование критерия Пирсона для

Статистика критерия Пирсона:

Таблица 10

xi	ni	ni/n
		0,4490	0,4376	42,8813	1,1187	0,0292
		0,3571	0,3617	35,4427	-0,4427	0,0055
		0,1429	0,1495	14,6473	-0,6473	0,0286
		0,0306	0,0412	4,0355	-1,0355	0,2657
		0,0102	0,0085	0,8339	0,1661	0,0331
		0,0102	0,0014	0,1378	0,8622	5,3925
å			1,00			5,7546

 

Из теоремы Пирсона имеем:

В моем случае ;

По таблице для находим h:

h

Доверительная обл-ть почти достоверных событий, если гипотеза верна p=g»1

Критическая область маловероятных событий, если гипотеза верна 1-g=a»1

 

9,488

Доверит обл

Критич обл

 

Так как попало в доверительную область, то никаких противоречий с гипотезой не наблюдается; гипотеза принимается с уровнем значимости Другими словами гипотеза на согласуется с экспериментальными данными, а возможная ошибка