Теорема о смешанных производных

Предположим, что:

f (x, y ) определена в некоторой (открытой) области D;

в этой области существуют производные , а также вторые смешанные производные ,

эти смешанные производные как функции х и у непрерывны в некоторой точке (х0, у0) области D .

Тогда в этой точке имеет место равенство .
Доказательство. Рассмотрим выражение

где Δ х и Δ у — любые столь малые числа, что точка M1(x0 + Δ x, y0 + Δ y) находится в указанной области D . Введем вспомогательную функцию

φ (x) = f (x, y0 + Δ y) − f (x, y0);

тогда выражение А можно рассматривать как приращение дифференцируемой на отрезке [х0, х0 + Δ х] функции φ(х) одной переменной х:

A = Δ φ = φ (x0 + Δx) − φ (x0)

Поэтому, применяя к этой разности теорему Лагранжа, запишем

где 0 < θ1 < 1. Выражение в квадратных скобках можно рассматривать как приращение дифференцируемой на отрезке [у0, у0 + Δ у] функции одной переменной у. Применяя еще раз теорему Лагранжа (по переменной у), получаем

(5)

С другой стороны, если вести вспомогательную функцию ψ (y) = f (x0 + Δ x, y) − f (x0, y), то, поступая аналогично, получим

A = Δ ψ = ψ (y0 + Δ y) − ψ (y0)

а затем

(6)

Сравнивая (5) и (6), получаем

.

Переходя теперь в этом равенстве к пределу при Δ х → 0, Δ у → 0 и учитывая непрерывность частных производных
f ''yx(x, y), f ''xy(x, y) в точке М, получим

или

41.Дифференцирование сложной функции z=f(u,v) u=u(t),v=v(t)

Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u = u (x), v = v (x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции .

Примеры

1.

2. .

42.Дифференцирование сложной функции z=f(u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)

Дифференцирование функции заданной не явно

Пусть уравнение определяет как неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ;

б) из полученного уравнения выразим .

Пример: .

44.

45. Формула Тейлора z=f(x,y)

Теорема:

Экстремум. Необходимые условия

если то сохр. знак

Если А больше 0 min

Если А больше 0 max

Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если .

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум .

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .

Если точка -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо
1) , либо
2) производная не существует.

Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .

Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

Пример 7.18 Рассмотрим функцию . Её производная существует при всех и равна . Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением . Это уравнение можно записать в виде ; оно имеет единственный корень : это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде , легко увидеть, что в стационарной точке функция имеет минимум, равный .

Рис.7.21.График функции