Формула Ньютона-Лейбница. В соответствии с предыдущим, F(а)=С

В соответствии с предыдущим, F(а)=С. Тогда Пользуясь этим, можно записать Это центральная формула математического анализа, справедлива для любой непрерывной функции f(t) . Это формула Ньютона-Лейбница.

16 Замена переменной интегрирования.

Пусть f(х) – интегрируемая функция (Римана), и мы имеем дело вычислением ( причем а < b) Пусть х= φ(t) – непрерывно дифференцируемая монотонная функция на интервале [α, β] (α<β), причем φ(α)=а, φ(β)=b. Тогда в этих условиях Эта формула немедленно получается учетом того, что F(a)+

17 Формула интегрирования по частям Можно пользоваться формулой ибо

Простая формула прямоугольников численного интегрмрования

Пусть вычисляется интеграл Если f(х)≈const на [а,b] , то можно приближенно взять Ошибка порядка . Это формула прямоугольников.

Простая формула трапеции численного интегрирования

, ошибка порядка .

Простая формула парабол(Симпсона) числ инт

Ошибка интегрирования порядка

21 по составной формуле прямоугольников имеем

где Δ=(b-а)/n, n-любое натуральное число.

22 По составной формуле трапеций (n-любое натуральное):

23 По составной формуле Симпсона (n-четное, n=2к)

Приложения определенного интеграла.

Длина линии, площадь плоских фигур и площади некоторых поверхностей, объем некоторых тел:

1. Площадьзадача о площади криволинейной трапеции решается с помощью определенного интеграла. В предположении, что эта фигура ограничена сверху линией у= f(х) , имеем (при f(х) >0) Если линия задана параметрически у= φ(t), х= ψ(t),

Площадь эллипса: х=аcost, y=bsint; 0<t<π/2; S=1/4 πаb·4= πab

Пусть, далее линия задана уравнением в полярных координатах:

х=r(φ) cos φ у= r(φ) sin φ r= r(φ) – задано

а требуется вычислить площадь сектора , a£j£b. Тогда S≈1/2ΣΔφ_jr_j²=>

Пример: r=аφ. Это спираль Архимеда . Для нее

2.Объем тела. Пусть тело, для которого известны площади поперечных сечений, перпендикулярных некоторому направлению, вдоль которого затем задаем координатную ось Х. Итак S(х) – известны. Объем между сечениями в пределах от x=а до x=b:

Объем тела вращения y= , Длина дуги . Пусть линия задана уравнением у= f(х). (Δl_j)→0. .. 2 Если линия задана параметрически (x=φ(t), y=ψ(t)) , то получаем :

25 Эта сумма интегралов от непрерывных функций и есть интеграл от разрывной функции с точками разрыва первого рода c₁, c₂, …,c_k.

Несобственный интеграл по полу- и –бесконечному промежуткам.

Эта сумма интегралов от непрерывных функций и есть интеграл от разрывной функции с точками разрыва первого рода c₁, c₂, …,c_k.

Эта сумма интегралов от непрерывных функций и есть интеграл от разрывной функции с точками разрыва первого рода c₁, c₂, …,c_k.