Использование графического метода решения уравнений

Тема : «Тригонометрические уравнения»

В лекции использованы материалы из лекций проф. Ананченко К.О.

Простейшие тригонометрические уравнения

В старших классах (10 класс) учащимся дается понятие о тригонометрическом уравнении, его корнях, изучаются простейшие уравнения и рассматриваются приемы решения более сложных уравнений.

При выводе формул для решения простейших тригонометрических уравнений вида возможны следующие методические подходы.

Использование графического метода решения уравнений.

Он является одним из общих методов решения уравнений, суть которого должна быть хорошо усвоена в курсе алгебры восьмилетней школы. Рассмотрим методику ознакомления учащихся с решением уравнения вида , используя данный подход.

1) Перед выводом формулы корней этого уравнения рекомендуется повторить:

а) основные свойства функции ;

б) определение арккосинуса;

в) сущность графического метода решения уравнений.

2) Полезно рассмотреть частные случаи уравнения на конкретных примерах.

1. Решить уравнение .

Строим график функции .

Так как функция — периодическая с периодом , возьмем отрезок . Как видно из графика функции, на этом промежутке уравнение имеет только одно решение . Легко видеть, что остальные решения получим, прибавляя к x₀ число вида .

2. Решить уравнение ; .

Рассуждая аналогично, получаем следующие формулы:

3. Решить уравнение .

Построим в одной и той же системе координат графики функций и .

Функция — периодическая с периодом , следовательно, достаточно найти корни уравнения на промежутке . Так как на отрезке функция монотонно убывает от 1 до -1, то на этом отрезке она (в силу своей непрерывности) принимает значение ровно один раз.

Абсцисса точки пересечения графиков будет равна числу , то есть . Косинус — четная функция, поэтому на отрезке уравнение также имеет только одно решение — . Итак на отрезке наше уравнение имеет два корня: . Прибавим к полученным значениям период функции , получим все решения уравнения: .

3) Рассмотрим вывод формулы решений уравнения при .

Пусть . Строим графики функций и , получится бесконечное множество точек пересечения.

На отрезке косинус убывает, и поэтому уравнение имеет единственное решение, равное числу . Косинус — четная функция, поэтому на отрезке уравнение также имеет только одно решение — число . Итак, уравнение на отрезке длины имеет два решения: . Функция является периодической с периодом , поэтому числа вида будут корнями уравнения .

При рассуждаем аналогично и приходим к тому же результату.

Важно обратить внимание учащихся на тот факт, что если тригонометрическое уравнение имеет решение, то оно имеет их бесконечное множество.

4) Затем следует рассмотреть случаи отсутствия решения уравнения при , рассмотрев графики функций и .

5) Полученные сведения о решении уравнения рекомендуется свести в таблицу.

 

Вид уравнения	Значение a
a = -1	a = 0	a = 1
					Решений нет

 

Важно обратить внимание учащихся на «особую» форму записи решения уравнения при a = -1, 0, 1.

 

 

1.2 Нахождение решений тригонометрических уравнений с помощью единичной окружности.

 

Рассмотрим методику ознакомления учащихся с решением уравнения , используя единичную окружность.

 

1) Перед выводом формулы корней этого уравнения рекомендуется повторить:

а) определение единичной окружности;

б) определение ;

в) свойства функции ;

г) .

2) Рассмотреть частные случаи решения уравнения при a = -1, 0, 1:

3) Решить уравнение .

Изобразим единичную окружность. Прямая пересекает ее в двух точках . Так как синус — периодическая функция с периодом , то получим две серии решений:

можно записать по-другому:

где - нечетное число.

Сейчас эти две серии решений можно записать так:

.

Если k — четное, то получается решение , а при нечетном k получаем решение .

4) Рассмотреть вывод формулы решений уравнения при .

Пусть . На оси Oy отметим точку А с ординатой a и проведем через нее прямую, параллельную оси Ox. Точки пересечения этой прямой с единичной окружностью обозначим P₁ и P₂. Корнями уравнения являются только те действительные числа, которые на единичной окружности изображаются либо точкой P₁, либо точкой P₂.

Одно из чисел, изображенное точкой P₁, попадает на отрезок , который включается в отрезок и поэтому равно . Другое из чисел, изображаемое точкой P₂, как легко понять из рисунка, равно . Ток как синус — периодическая функция с периодом , то получим две серии решений:

Но . можно представить одной формулой:

.

Если k — четное, то получается решение , а при нечетном k получаем решение .

5) Затем следует рассмотреть случаи отсутствия решений уравнения при , используя единичную окружность

 

6) Полученные сведения о решении уравнения рекомендуется свести в таблицу.

 

Вид уравнения	Значение a
a = -1	a = 0	a = 1
					Решений нет

 

Важно обратить внимание учащихся на «особую» форму записи решения уравнения при a = -1, 0, 1.

 

 

1.3 Аналитическое выведение формул решения тригонометрических уравнений.

(1)

Пусть x₀ — какое-либо число, являющееся корнем уравнения (1), тогда . По формулам приведения имеем: , следовательно, . Синус — функция периодическая, поэтому: . Объединение множеств чисел вида охватывает все решения уравнения (1). Это число можно представить одной формулой: , где x₀ — какое-либо решение уравнений (1).

Для удобства x₀ выбирают из промежутка , где синус принимает все свои значения. Но тогда можно обозначить , и формула решения уравнения (1) примет вид: .

Задание: Какой из методических подходов к выводу формул решения тригонометрических уравнений целесообразно, на ваш взгляд, использовать в общеобразовательной школе?