Основные тригонометрические формулы

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Тригонометрический круг

1.Углом какой четверти является угол α, если:

а) α = 283˚ б) α = 190˚

в) α = 100˚ г) α = –20˚

д) α = –110˚ е) α = 4200˚

ж)α = 179˚ з) α = 325˚

и) α = –150˚ к) α = –10˚

л) α = 800˚ м) α = 10 000˚

 

а		б
в		г
д		е
ж		з
и		к
л		м

 

 

Радианная мера угла

180˚ = π рад

Преобразование углов из градусной меры в радианную:

α рад =

Преобразование углов из радианной меры в градусную:

α˚ =

2. Выразите в радианной мере величины углов:

а) 45˚, 36˚, 180˚; б) 120˚, 310˚, 360˚;

в) 60˚, 72˚, 270˚; г) 150˚, 216˚, 90˚.

а		б
в		г

3. Выразите в градусной мере величины углов:
а) ; б) ;

в) ; г)

а		б
в		г

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Если а и b — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, то выполняются следующие равенства:

Линии тригонометрического круга

Основные тригонометрические формулы

I группа. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

 

 

4. Какой знак имеет выражение:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и)

к) ; л) ; н) ;

о) ; п.) ; р)tg(-10°).

 

а	+	б	+	в	–
г	+	д	+	е	–
ж	–	з	–	и	–
к	+	л	+	н	–
о	+	п	+	р	–

 

5. Какой знак имеет выражение:

а) ; б) ; в) ; г)

д) _; е) ; ж) ; з)

и) ; к) ; л) ; м)

н) ; о) ; п) ; р) .

 

а	+	б	–	в	–	г	–
д	–	е	+	ж	–	з	+
и	–	к	–	л	–	м	+
н	–	о	+	п	–	р	–

 

6. Определите знак выражения:

а) ; ;

б) ;

 

а	+	в	+
б	–	г	–

 

7. Определите знак выражения:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и)

к)

а	–	б	–
в	+	г	–
д	–	е	+
ж	+	з	+
и	+	к	–

 

8. По заданному значению функции найдите значения осталь­ных тригонометрических функций:

а) б)

в) г)

д) е)

з)

и) к)

л) м)

 

а
б
в
г
д
е
ж
з
и
к
л
м
н
о
п
р

 

 

II группа. Формулы приведения:

 

формулы приведения для преобразования выражений вида

Для запоминания этих формул удобно пользоваться та­ким мнемоническим правилом:

а) перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если ;

б) функция меняется на «кофункцию», если пнечетно; функция не меняется, если пчетно.

(Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котан­генса называются соответственно косинус, си­нус, котангенс и тангенс.)

 

 

 

 

9. Замените тригонометрической функцией угла :

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

к) л) м)

н) о) п)

р) с) т)

у) ф) х)

 

 

а	cosα	б	sinα	в	ctgα
г	ctgα	д	cosα	е	sinα
ж	–tgα	з	– sinα	и	– ctgα
к	sinα	л	– cosα	м	– ctgα
н	cosα	о	– sinα	п	tgα
р	cosα	с	– ctgα	е	– sinα
у	sinα	ф	– sinα	х	ctgα

 

10. Приведите к тригонометрической функции угла из проме­жутка : а) б)

в) г)

 

а	;	б	;
в	;	г

 

 

11. Приведите к тригонометрической функции угла от 0° до 90°:а) б)

в) г)

а	;	б	;
в	;	г	.

 

12. Найдите значение выражения:

а)в)д)

б) г) е)

ж)и)л)

з) к) м)

а	;	в	;	д	;
б	;	г	;	е	.
ж	а) ;	и	в) ;	л	д) ;
з	б) ;	к	г) ;	м	е) .

 

14. Выразите через тригонометрическую функцию угла от 0° до 90°, если:

а) б)

в) г)

 

а	sin130˚=cos40˚ cos130˚=–sin40˚ tg130˚=–ctg40˚ ctg130˚=–tg40˚	б	sin190˚=–sin10˚ cos190˚=–cos10˚ tg190˚=tg10˚ ctg190˚=ctg10˚
в	sin(–320˚)=sin40˚ cos(–320˚)=cos40˚ tg(–320˚)=tg40˚ ctg(–320˚)=ctg40˚	г	sin(–590˚)=sin50˚ cos(–590˚)=–cos50˚ tg(–590˚)=–tg50˚ ctg(–590˚)=–ctg50˚

 

15. Найдите если:

а) б) в)

а	sin cos tg ctg
б	sin cos tg ctg
в	sin cos tg ctg

 

16. Преобразуйте выражение:

а) в)

б) г)

д)

е)

 

а	sin2α	в	sin2α	д
б	ctg2α	г	ctg2α	е	2cosα

 

17. Упростите выражение:

а)в)

б) г)

д)

е)

ж)з)

и)

к)

 

л) н)

м) о)

п)

р)

 

а	;	д
б	;	е
в	;	ж
г	.	з
и	;	н	;
к	.	о	.
л		п	;
м		р

 

18. Вычислите с помощью формул приведения:

а) в)

б) г)

д) е)

ж)

з)

а		д	;
б		е	;
в		ж	;
г		з	.

 

 

III группа. Формулы сложения:

 

19.С помощью формул сложения преобразуйте выражение:

а) в)

б) г)

д) е)

а		в
б		г
д		е

 

20. Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите:

а) sin 105°; б) cos 105°.

 

а

;

б

.

21.Представив 75° как сумму 30°+45°, вычислите:
а) sin 75°; б) cos 75°.

 

а

;

б

 

22. Упростите выражение:

а) в)

б) г)

д) ж)

е) з)

и)л)

к) м)

н) о)

 

 

а		в
б		г
д	;	ж	;
е	;	з	.
и	;	л	;
к	;	м	.
н	;	о	.

 

23. Найдите значение выражения:
а)
б)

в) г)

д)
е)

 

а		в
б		г	.
д		е

 

24.Упростите выражение:

а)

б)

в) г)

д) е)

 

а		г
б		д
в		е

 

25. Зная, что sin , , и —углы I четверти,

найдите значение выражения:

а) б) в)

 

а

б

в

 

26.Известно, что и — углы II четверти и ,

. Найдите:

а) б)

в) г)

 

а		б
в		г

 

27. Вычислите: а) б)

 

а

б

 

28. Известно, что , . Найдите:

а) 6)

 

а

б