Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

ïf(x)ï>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx - aï < D

 

Записывается .

 

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)<M, то:

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

 

 

a x a x a x

 

 

Функция называется бесконечно большойпри х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

 

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

 

Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥ ) и не обращается в ноль, то

 

 

1.Найти ( )

 

( )=13

Используем теорему о пределе суммы, произведения и следствия о пределе степени

 

2.Найти .

 

 

Так как пределы числителя и знаменателя существуют и пределзнаменателя не равен нулю, то можно применить теорему о пределе дроби:

.

 

3.Найти

Решение.

 

Так как пределы числителя и знаменателя существуют и пределзнаменателя не равен нулю, то можно применить теорему о пределе дроби:

₌

 

4.Найти

 

 

Решение.

 

_{Так как предел знаменателя при равен 0, тогда знаменатель бесконечно малая функция , следовательно}

_{функция обратная ей является функцией бесконечно большой, предел которой равен}

5.Найти

Решение.

_{Так как предел знаменателя при равен , тогда знаменатель бесконечно большая функция , следовательно}

_{функция обратная ей является функцией бесконечно малой , предел которой равен 0.}

Тема № 9.Раскрытие неопределенностей вида

1. Найти предел .

 

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

 

x² – 6x + 8 = 0; x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2 ; x₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

 

 

2.Найти предел .

Теорему о пределе элементарной функции здесь применить нельзя, так как в точке 2 знаменатель рассматриваемой дроби обращается в нуль. Имеем неопределенность вида .

Разложим числитель и знаменатель на множители. Получим

Ответ: .

3.Найти предел .

При х→0 числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеем неопределенность вида Чтобы раскрыть эту неопределенность, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на .

Таким образом,

Ответ: 4.

4. Найти предел .

При х→∞ числитель и знаменатель дроби стремится к бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, каждое слагаемое разделим на переменную в самой высокой степени, получим:

5.Найти предел.

 

домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

= .

6. Найти предел .

 

Разложим числитель и знаменатель на множители.

x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x³ – 6x² + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3)

 

Разделим многочлен x³ – 6x² + 11x – 6 на х-1

 

 

Получим(x – 1)(x – 2)(x – 3),

 

Тогда