Тема №14.Определённый интеграл, его свойства

Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]

Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Свойства определенного интеграла.

1)

2)

3)

4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

Теорема Ньютона – Лейбница.

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

= F(x) .

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

1.Вычислить определенный интеграл .

Решение.

.

Тема №15.Вычисление площадей фигур с помощью определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур.

У

+ +

0 a - b x

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”. Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Построим данные параболы.

Y

3

-2 -1 0 1 2 X

Найдем абсциссы точек пересечения. Для этого решим систему

Получим х₁ = -1, х₂=1.

Фигура ограничена графиками двух функций, следовательно, площадь ее находится по формуле

, где . Тогда

.

Ответ: .

Тема №16.Нахождение области определения функций двух переменных

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

1.Найти область определения функции Z=1-x-y.

Областью определения функции Z=1-x-y является множество всех пар чисел (x,y) или D(Z)={(x,y)/xÎR, yÎR}, т.е. вся плоскость xOy, а областью значений этой функции – промежуток (-¥; +¥)

2. Найти область определения функции Z= .

Областью определения функции Z= является множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству 1-x ³ 0

(здесь речь идёт лишь о действительных значениях Z) или неравенство x 1, т.е. круг, ограниченный окружностью =1, включая эту окружность (замкнутый круг). Область значений этой функции – отрезок [0; 1]. D(Z)={(x,y)½ 1} и E(Z)=[0;1].