Краткий справочник формул

 

Правила дифференцирования

 

(1)

(2)

(3)

(4)

 

Таблица производных

 

Правила вычисления частных производных

 

Частная производная функции по находится при дифференцировании по в предположения, что постоянная величина и обозначается или .

Частная производная функции по находится при дифференцировании

по в предположения, что постоянная величина и обозначается или .

 

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полный дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме произведений частных производных функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных и обозначается .

 

 

Приложение В

окончание

 

Формулы дифференцирования сложной функции

 

 

(5)

 

(6)

 

(7)

 

(8.1)

 

(8.2)

 

Формулы дифференцирования неявной функции

или (9)

 

 

,

(10.1) (10.2)

 

Приложение Г

Образцы выполнения типовых заданий

 

1 Найдите частные производные функции

 

 

Обратите внимание, что данная функция является функцией трёх независимых переменных, поэтому находим три частные производные

 

| считаются постоянными величинами| =

| считаются постоянными величинами| =

| считаются постоянными величинами| =

 

 

2Найдите полный дифференциал функции

Воспользуемся формулой полного дифференциала

Найдем частные производные

Относительно независимой переменной х данная функция рассматривается как произведение двух функций, поэтому её частную производную по х находим по формуле (2)

Подставим значения и в формулу полного дифференциала

 

 

Приложение Г

продолжение

 

3 Найдите полную производную сложной функции

 

где

 

Полная производная находится по формуле:

 

Найдём частные производные: ,

= | |=

= | |=

 

Найдём :

 

Подставим найденные значения в формулу 5 полной производной, упростим полученное выражение:

+ =

4Найдите полную производную сложной функции

, где

Полная производная находится по формуле:

Найдём ,

= 2xy,

 

Найдём

 

Найденные значения подставим в формулу

 

Приложение Г

продолжение

 

.

В полученное выражение подставим значение

.

 

Замечание.Обратите внимание – результат дифференцирования записывается как функция независимой переменной.

 

 

5 Найдите производную сложной функции

 

, где

Частные производные функции находятся по формулам:

(8.1)

(8.2)

Найдём частные производные: ,

Относительно переменной x данная функция представлена произведением двух функций, воспользуемся правилом дифференцирования произведения ( формула 2)

 

 

 

Найдём

 

Найдённые значения подставим в формулу (8.1)

 

В полученное выражение подставим значения

 

Приложение Г

продолжение

 

 

Найдём

 

Найдённые значения подставим в формулу (8.2)

 

В полученное выражение подставим значения