III.Решить задачу с помощью производной

Кафедра Высшей математики

 

Расчетно-графическое задание №2:

Исследование функции и построение графика.

 

 

студент группы ЭР-03-2 _____________ Насипкалиев Ф.И.

(подпись) (Ф.И.О)

 

Санкт-Петербург

 

I. Исследовать и построить график функции

 

Решение.

 

1) Область определения данной функции ;

2) Для выяснения четности и нечетности функции рассмотрим . - функция общего вида и график никакой симметрии относительно осей не имеет. Функция непериодическая;

3) Вертикальных асимптот нет.

4) Найдем наклонные асимптоты, вычислив и (при раскрытии неопределенностей типа будем использовать правило Лопиталя):

 

Отсюда следует, что функция вертикальных асимптот не имеет.

5) Исследуем функцию на экстремум и найдем её интервалы монотонности. Так как

очевидно, что x= – стационарная точка.

Определим интервалы монотонности функции:

 

 

 

Функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

Точка является минимум функции, так как производная меняет знак на соответсвующем промежутке с минуса на плюс;

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика кривой и точки перегиба:

Критические точки второго рода: x=0 ( ), x=2,03 ( ).

Учитывая, что график функции (x) убывает на промежутке и возрастает на промежутке можно сделать вывод, что график исходной кривой выпуклый при и вогнутый при . Точки с координатами А(2,03;0,274),В(0;0) является точками перегиба.

7) Для построения графика функции используем следующие значения функции: f(10) =15,081; f(9)=12,481; f(8)=10; f(7)=7,651; f(6)=5,451; f(5)=3,42; f(4) =1,587; f(3) =0; f(2)=-1,259; f(1)=-2; f(0)=0; f(-10) =28,007; f(-9)=24,961; f(-8)=22; f(-7)=19,129; f(-6)=16,354; f(-5)=13,679; f(-4) =11,111; f(-3) =8,653; f(-2)=6,299; f(-1)=4. Построенный график функции имеет вид:

 

II. Исследовать и построить график функции .

Решение.

1) Область определения данной функции ;

 

2) Для выяснения четности и нечетности функции рассмотрим . - функция общего вида и график никакой симметрии относительно осей не имеет. Функция периодическая;

 

3) Вертикальных асимптот нет

 

4)Найдем наклонные асимптоты, вычислив и (при раскрытии неопределенностей типа будем использовать правило Лопиталя):

, следовательно, функция не имеет наклонных ассимптот;

 

5) Исследуем функцию на экстремум и найдем её интервалы монотонности.

Функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика кривой и точки перегиба:

 

Критические точки второго рода: ( ).

Учитывая, что график функции (x) убывает на промежутка и возрастает на промежутке можно сделать вывод, что график исходной кривой выпуклый при и вогнутый при . Точки с координатами и являются точками перегиба.

 

7)Для построения графика функции используем следующие значения функции: f(12) =0,175; f(11)=-0,999; f(10) =0,160; f(9)=1,242; f(8)=1,01; f(7)=1,225; f(6)=0,642; f(5)=-0,878; f(4) =-0,325; f(3) =1,121; f(2)=-1,082; f(1)=-1,133; f(0)=1; f(-12) =1,248; f(-11)=1,00001; f(-10) =1,248; f(-9)=0,418; f(-8)=-0,968; f(-7)=-0,088; f(-6)=1,201; f(-5)=1,039; f(-4) =1,184; f(-3) =0,838; f(-2)=-0,736; f(-1)=-0,549. Построенный график функции имеет вид:

 

III.Решить задачу с помощью производной

Из всех прямоугольников данной площади S определить тот периметр, которого наименьший.

Решение

 

 

Площадь прямоугольника: S=xy

x

Периметр:P=2(x+y)

Выразим сторону y через площадь : ,

y

Подставим полученное выражение в периметр: ,

При

 

На концах промежутка при и периметр наименьший