Геометрический смысл производной

и дифференциала функции

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задана кривая, являющаяся графиком функции и на ней точка Производная функции геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой , т.е. (см. рис.12). Тогда уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

Дифференциал функции f(x)в точке находится по формуле , т.е. равен произведению производной функции в заданной точке на дифференциал(приращение) независимой переменной. Геометрически дифференциал функции в точке представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке и при являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому справедливо приближенное равенство ~ dy, позволяющее приближенно заменять приращение функции дифференциалом.

ПРИМЕР 26.Найти координаты точки пересечения с осью Оу касательной к кривой , где , проведенной к ней в точке

РЕШЕНИЕ:Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдем сначала производную :

Вычислим тогда уравнение касательной к заданной кривой в точке Мо(-1,4) запишется в виде:

Теперь находим координаты точки пересечения полученной прямой с осью Оу.

Для всех точек, лежащих на оси Оу, х = 0. Подставим в уравнение касательной х = 0, получим у = 8. Значит, касательная у= 4х + 8 пересекает ось Оу в точке(0,8).

Применение правила Лопиталя к нахождению

Предела функции

При отыскании предела подстановка предельного значения в ряде случаев приводит к неопределенным выражениям типа: . Тогда вычисление заданного предела называют раскрытием неопределенности соответствующего типа. Обычно при этом используют правило Лопиталя.

Раскрытие неопределенностей типа и

Непосредственно применять правило Лопиталя можно только для раскрытия неопределенностей типа или . Согласно этому правилу, предел отношения двух бесконечно малых (или двух бесконечно больших) существует и равен пределу отношения их производных:

если выполнены условия:

1) функции f(x), g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = а и g'(х) ≠ 0 в этой окрестности (кроме, может быть самой точки а);

2)

3) существует (конечный или бесконечный), при этом а может быть как числом, так и одним из символов:

ПРИМЕР 28.Найти

РЕШЕНИЕ:Поскольку

и то имеем неопределенность типа . Функции дифференцируемы на всей числовой оси. Найдем предел отношения их производных:

Так как этот предел существует, то согласно правилу Лопиталя:

Замечание. Если предел отношения производных вновь представляет собой неопределенность типа или , то правило Лопиталя применяется еще раз.

Раскрытие неопределенностей типа и

Неопределенность типа или следует вначале путем тождественных преобразований привести к неопределенностям типа или , для раскрытия которых можно непосредственно применить правило Лопиталя.

ПРИМЕР 29.Найти

РЕШЕНИЕ: При аргумент логарифмической функции Так как и , то возникает неопределенность типа . Обычно в таких случаях один из сомножителей записывают в знаменатель данного выражения:

Получена неопределенность типа , к которой применимо правило Лопиталя:

(поскольку ). Здесь имеет место неопределенность типа , для раскрытия которой снова применяем правило Лопиталя:

ПРИМЕР 30. Найти

РЕШЕНИЕ: Выражение в скобках, представляющее собой неопределенность типа , приводим к общему знаменателю:

Полученную неопределенность типа раскроем по правилу Лопиталя (в ходе вычислений это правило применено дважды):

Раскрытие неопределенностей типа

При раскрытии указанных неопределенностей используются:

а) основное логарифмическое тождество (в частности, );

б) непрерывность показательной функции, в силу чего:

ПРИМЕР 31.Найти .

РЕШЕНИЕ:Поскольку , имеем неопределенность типа . Найдем вначале предел логарифма заданной функции: . Здесь возникла неопределенность типа . Если учесть, что , то перейдем к неопределенности типа , которую можно раскрыть по правилу Лопиталя:

Теперь используем основное логарифмическое тождество и свойство непрерывности показательной функции:

Таким образом, для вычисления в случае неопределенностей , применяем правило:

.