Дискретное преобразование Лапласа

Для использования импульсных систем автоматического регулирования, а также в других прикладных задачах, связанными с решетчатыми функциями и разностными уравнениями, используется преобразование, определяемое формулой

F^*(q)= e^-qnf[n] (1)

Где q=s+ - комплексная переменная.

Оно называется дискретным преобразованием Лапласа, а также D-преобразованием и сокращенно обозначается D{f[n]}, т.е.

F^*(q)=D{f[n]}

Функция F^*(q), определяемая (1) называется изображением. Дискретное преобразование Лапласа может быть определено и для смещенных решетчатых функций в соответствии с формулой

F*(q, e)=D{f[n, e]}= e^-qnf[n, e] (2)

Где e- параметр, принимающий значения на отрезке [0,1].

Наряду с D - преобразованием в теории автоматического регулирования применяется так называемое Z-преобразование, определяемое (1), (2), в которых используется новая переменная

z=e^q

F^*_z(z)= z^-nf[n]

Z-преобразование принято обозначать так

Z{f[n]}=F^*_z(z)

Если известно изображение F^*(q) некоторой решетчатой функции, то соответствующее изображение F^*_z(z) может быть найдено с помощью замены комплексной переменной q по формуле

q=ln z®F^*_z(z)= F^*(ln z)

Аналогично можно определить изображение F^*(z)

F^*(q)= F^*_z(e^q).

Таким образом, принципиальной разницы между D - преобразованием и Z-преобразованием не существует. Все основные свойства Z-преобразования могут быть получены из соответствующих свойств D-преобразования.

Отметим, что D-преобразование решетчатой функции f[n] можно рассматривать как обычное преобразование Лапласа функции, состоящей из последовательности смещенных дельта-функций

g(t)= f[n]d(t-n)

Применяя к этой функции преобразование Лапласа на основании фильтрующего свойства d-функции получим

L[g(t)]= g(t)e^-qtdt= f[n] d(t-n)e^-qtdt= f[n] d(t-n) e^-qtdt=

= f[n] e^-qn=D{f[n]}

Формула обращения определяет решетчатую функцию f[n] по заданному изображению F^*(q)

f[n]=D^-1{F(q)} (n³0)

D^-1-преобразование определяется формулой

f[n]= F^*(q)e^qndq (n³0)

где с>d_e; d_e- абсцисса абсолютной сходимости.

Для смещенных решетчатых функций формула D^-1-преобразования имеет вид

f[n,e]= F^*(q, e)e^qndq

Наконец, формула обращения Z-преобразования, которая получается из предыдущей путем замены z=e^q

f[n]= F^*(z, e)z^n-1dt

интегрирование производится по окружности c радиуса e^с, где c>s_e в положительном направлении. К последующему выражению можно применить теорему о вычетах, согласно которой получим

f[n]= ResF^*(z,e)z^n-1 ½_z=zn,

где z= zn - полюса функции F^*(z, e)z^n-1, лежащие внутри окружности с.

Однако более удобен путь разложения функции F^*[z,e] в ряд Лорана по убывающим степеням z. Коэффициенты при соответствующих степенях z равны значениям оригинала в дискретные моменты времени t=nT, где n=0,1,2… Т. к. Z - преобразование представляет собой дробно-рациональную функцию, то разложение в ряд Лорана можно делать делением числителя на знаменатель выражения F^*(z,e).

Таким образом, проводя разложение в ряд

F^*(z,e)=a₀(e)+a₁(e)z^-1+…+ a_n(e)z^-n+…+…

Получаем f[n, e]=a_n(e), n=0, 1, 2…

Примеры

1. F^*(q)=D{1[n]}= e^-qn1[n]

при условии, что Re q>0 этот ряд сходится, т.к. сумма ряда, изображение функции 1[n], равна

F^*(q)= e^-qn= , абсцисса абсолютной сходимости s_l =0

F^*(z)=

2. D{e^{a n}}, a- любое вещественное число

D{ e^{a n} }= e^{-q n}e^{a n}= e^-n(q-a)= = ,

т.е. F^*(q)= , а F^/(z)= , где d=e^a

Здесь абсцисса абсолютной сходимости s_l=a

Найти оригинал, соответствующий изображению.

3. F^*_z(z)= .

4. Разложим F^*(z) в ряд Лорана путем деления числителя на знаменатель

_Tz ½Z²-2z+1

Tz-2T+Tz^-1 z^-1+2Tz^-2+3Tz^-3+…

0_2T-Tz^-1

2T-4Tz^-1+2Tz^-2

0_3Tz^-1-2Tz^-2

3Tz^-1-6Tz^-2+3Tz^-3

0 4Tz^-2-3Tz^-3

получим f[n]=a_n=nT, n=0, 1, 2,… чему соответствуе непрерывная функция f(t)=t при T=1

4. F^*_z(z)= , где d=e^-b;

f[n]=ne^-b(n-1). Здесь Т=1