Криволинейный интеграл

— интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Пусть — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

— (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть — разбиение отрезка параметризации , причем .

Зададим разбиение кривой .

За обозначим часть кривой от точки до точки , .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации : .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации : .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой : , , , .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

.

1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

,

,

.

Если , то говорят, что функция интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции по кривой и обозначают . Здесь — дифференциал кривой.

Если , , , то говорят, что функции , и интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций , и по кривой и обозначают

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций , и также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции и обозначают:

.

Если кривая замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка принято писать .

Точка ветвления или особая точка многозначного характера— особая точка полной аналитической функции, такая, что аналитическое продолжение какого-либо элемента этой функции вдоль замкнутого пути, охватывающего эту точку, приводит к новым элементам этой функции.

Точки ветвления могут быть разделены на две категории:

1. Если при –кратном обходе указанного пути мы вновь получим исходный элемент, тогда данная точка называется точкой ветвления конечного порядка (а именно порядка );

2. Если такого не происходит, то точка будет точкой ветвления бесконечного порядка или логарифмической точкой ветвления

Из теоремы Пуанкаре — Вольтерры прямо следует, что данными двумя случаями варианты точек ветвления исчерпываются.

Формула Коши

Пусть функция аналитическая в односвязной замкнутой области ( ), с кусочно-гладкой границей , ориентированной в положительном направлении (рис. 142), т. е. против часовой стрелки. Тогда имеет место формула Коши

,

где - любая точка внутри контура .

Таким образом, аналитическую функцию достаточно определить на контуре , а по формуле (1) можно автоматически получить ее значения в других точках .