Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины по данным опыта

Пусть с испытанием связана случайная величина с неизвестным законом распределения и пусть по некоторым соображениям выдвинута гипотеза Н: имеет закон распределения , где – неизвестные параметры.

Например, пусть гипотеза Н состоит в том, что случайная величина нормальна:

Укажем правило проверки гипотезы о законе распределения, принадлежащее Пирсону. Для этого построим критерий , т.е. такую статистику, для которой закон распределения известен при условии, что исходная гипотеза верна.

1 2 … m

1.

Разделим отрезок на m интервалов одинаковой длины . Обозначим - частоты попадания элементов выборки в эти интервалы.

2.Обозначим - состоятельные оценки неизвестных параметров . Тогда гипотетическая функция распределения случайной величины имеет вид:

. (47)

3.Вычислим вероятности попадания в эти интервалы по формуле:

,

где F(x) – функция (47).

4.Построим статистику Z по формуле:

. (48)

Критерий (48) был построен Пирсоном.

Теорема. Если гипотеза Н верна, то при достаточно большом объеме выборки случайная величина (48) подчинена приближенно закону распределения Пирсона с степенями свободы.

Из этой теоремы и указанной выше схемы проверки гипотезы вытекает следующее правило проверки гипотезы о законе распределения:

1. Задаются уровнем значимости и вычисляют квантиль .

2. Выполняют выборку и по формуле (48) вычисляют .

3. Если

, гипотеза принимается.

Если

, гипотеза отвергается.

Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия

При проверке гипотез по указанному правилу возможны ошибки двух типов:

1. Ошибка первого рода: отвергается верная гипотеза. Вероятность этой ошибки равна уровню значимости a. Действительно, из определения a имеем:

Р (ошибки 1-го рода)=

2. Ошибка второго рода: принимается неверная гипотеза. Вероятность этой ошибки обозначают b:

Р (ошибки второго рода)= .

В конкретной ситуации эта вероятность может быть вычислена.

В математической статистике доказывается: при фиксированном объеме выборки уменьшение уровня значимости a влечет увеличение b и обратно, уменьшение b влечет увеличение a.

Единственный способ уменьшения одновременно a и b- это увеличение объема выборки.

В конкретных ситуациях можно минимизировать вероятность той ошибки, которая ведет к менее тяжелым последствиям. Рекомендуется, если это возможно, проводить проверку более одного раза (набрать хотя бы еще одну выборку).

3. Мощностью критерия называется вероятность отвергнуть неверную гипотезу:

,где

b - вероятность ошибки второго рода.