Сходящиеся последовательности

Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящей.

Замечание: б.б.п. не имеет предела или говорят, что она имеет бесконечный предел.

Всякая б.м.п. является сходящей и имеет пределом число 0.

Теорема: всякая сходящаяся последовательность ограничена. Док-во: , тогда по определению "e>0$N:"n>N=>|Xn-A|<e, А-e<Xn<A+e, -|A|-e<Xn<|A|+e, *|Xn|<|A|+e,"n>N. Членов, чля которых не выполнено * конечное число. Это числа Х1,Х2…Х_N. Обозначим за k=max{|Х1|,|Х2|…|Х_N|} и возьмем в качестве c=max{k, |A|+e}, тогда "n>N=>|Xn|<c-ограниченная последовательность.

Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Xn=(-1)ⁿ.

Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Док-во от противного: Пусть есть А¹В; , , ]A<B, тогда ,

$N1:"n>N1=>|Xn-A|< ; ,$N2:"n>N2=>|Xn-B|< ; А-e<Xn<A+e, B-e<Xn<B+e. Nmax={N1,N2}. "n>N, Xn находится в e окрестности чисел А и В, но так как эти окрестности не пересекаются (учитывая выбранное нами e), то получаем противоречие, следовательно предположение не верно.

Теорема(о предельном переходе в неравенства): пусть . Док-во: Пусть выполняются все условия теоремы, но A>B. "e>0$N:"n>N=>|Xn-A|<e, или A-e<Xn<A+e. "e>0$N:"n>N=>|Yn-B|<e, или B-e<Yn<B+e; пусть , тогда Xn>A-e, Xn>A- , Xn> , и ещё Yn<B+e, Yn<B+ , Yn< , т.е. Xn>Yn что противоречит условию.

Теорема о сжатой переменной: Если . Док-во: есть e>0, тогда для Xn, $N1:"n>N1=>|Xn-A|<e, A-e<Xn<A+e, так как , "e>0$N2:"n>N2=>|Yn-A|<e, A-e<Yn<A+e, N=max{N1;N2}. Тогда "n>N выполняется оба подчёркнутых неравенства. Используя подчёркнутое, а так же исходное неравенство имеем: A-e<Xn£Zn£Yn<A+e => A-e<Zn<A+e, |Zn-A|<e, "n>N=> .

Свойства пределов последовательностей.

т.к. Xn=A+б.м.п.

, если все члены Yn отличны от нуля и В¹0.

Монотонные последовательности.

Последовательность Xn называется возрастающей, если Xn<X_n+1 верно при всех n, nÎN.

Последовательность Xn называется неубывающей, если Xn£X_n+1 верно при всех n, nÎN.

Последовательность Xn называется убывающей, если Xn>X_n+1 верно при всех n, nÎN.

Последовательность Xn называется невозрастающей, если Xn³X_n+1 верно при всех n, nÎN.

Это всё –монотонные последовательности. Теорема: монотонная ограниченная последовательность сходится.

Предел функции.

Основные определения.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности х0, кроме может быть самой точки х0.

Определение 1(конечный предел в конечной точке): число А называют пределом функции f(x), при х®х0, если для любого e>0, существует дельта (d)>0, зависящая от e, такое что для всех произвольных х, принадлежащих d окрестности х0 и отличных от х0 удовлетворяющих неравенству, что |x-x0|<d выполняется, что |f(x)-A|<e. Т.е. .

Определение 2 (конечный предел на бесконечности)

Определение 3 (бесконечный предел, в конечной точке)

Определение 4 (бесконечный предел на бесконечности)

Определение 5 (на языке последовательности): число А(конечное/бесконечное) называется пределом функции f(x), х®х0(конечному/бесконечному), если для любой сходящейся к х0 последовательности значений аргумента х (х1,х2,..хn) отличных от х0) соответствующая последовательность f(x1),f(x2),..f(xn) значений функции сходится к числу А.