Однородные линейные ДУ n-го порядка. Две теоремы о свойствах решений ОЛДУ (док.)

1) Если у₁(х) – решение ЛОДУ у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0 (2) , то функция С у₁(х), где С=const, также является решением этого ЛОДУ.

Док-во:

Су⁽ⁿ⁾ + P₁Сy^(n-1) +…+ P_n-1 С y’ + P_n С y = 0

С(у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y ) = 0

у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0

2) Если у₁(х) и у₂(х) – решение ЛОДУ (2), то функции у₁(х) + у₂(х) также являются решениями этого ДУ

Док-во:

(у₁+у₂)⁽ⁿ⁾ + P₁(у₁+у₂) ^(n-1) +…+ P_n-1 (у₁+у₂)’ + P_n (у₁+у₂) =

= [у₁ ⁽ⁿ⁾ + P₁ у₁ ^(n-1) +…+ P_n-1 у₁’ + P_n у₁] + [у₂ ⁽ⁿ⁾ + P₁ у₂ ^(n-1) +…+ P_n-1 у₂’ + P_n у₂] = 0

51. Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (док.).

Определение:

C₁y₁(x₀) + C₂y₂(x₀) + … + C_ny_n(x₀) = y₀

C₁y₁’(x₀) + C₂y₂’(x₀) + … + C_ny_n’(x₀) = y₀’

…………………………………………..

C₁y₁^(n-1)(x₀) + C₂y₂^(n-1)(x₀) + … + C_ny_n^(n-1) (x₀) = y₀^(n-1)

(, где y_1, y_2, y_n - ФСР C₁ ,C₂ ,…,C_n- const)

Определителем этой системой является определитель Вронского

Теорема: (Необходимое условие линейной зависимости функции, но не являются достаточным)

Если функции y_1, y_2, … ,y_n - линейно зависимы, то их определитель Вронского тождественно равен 0.

Док-во:

Т.к. y_1, y_2, … ,y_n - линейно зависимы, то

α₁y₁ + α₂y₂ + …+ α_ny_n = 0 на (a,b),

какое-то α_i ≠ 0

продифференцируем равенство (n-1) раз и получим линейную однородную систему уравнений

α₁y₁ + α₂y₂ + …+ α_ny_n = 0

α₁y₁’ + α₂y₂’ + …+ α_ny_n’ = 0

α₁y₁’’ + α₂y₂’’ + …+ α_ny_n’’ = 0 =>

……………………………..

α₁y₁^(n-1) + α₂y₂^(n-1) + …+ α_ny_n^(n-1) = 0

ð эта теорема имеет нетривиальное решение любых Х из (а,b), определитель этой системы – определитель Вронского.

W[y_1, y_2, … ,y_n ] = 0 для любых Х из [а,b]

52. Теорема о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ

( док.).

Если n решений y_1, y_2, … ,y_n ЛОДУ у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0 линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х ‌| для любого Х из (а,b) .

Следствие:

Определитель Вронского системы уравнений [y_1, y_2, … ,y_n ] , где y_i – решение ЛОДУ (2), либо ‌ 0, если система линейно-зависима.

53. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ (док). Понятие ФСР.

Опр: фундаментальной системы решений (ФСР) -система n линейно-зависимого решения ЛОДУ n-го порядка называется ее ФСР

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ

Если функции y₁(х)_, y₂(х)_, … ,y_n(х) – образует ФСР ЛОДУ у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0 , то y(х) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x) = , есть общее решение этого уровня. (4).

Док-во:

Из теоремы о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ:

Если n решений y_1, y_2, … ,y_n ЛОДУ (2) и они линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х ‌| для любого Х из (а,b) .

ð что (4) являются решением у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0

остается доказать, что можно подобрать const-ты то С₁, С₂, … С_n , таким образом что функция (4) удовлетворяет любой системе начальных условий [н.у.]

Задаем н.у. , при x₀ (а,b) y(х₀) = y₀, y’(х₀) = y₀’, y^(n-1) (x₀) = y₀^(n-1) определяем C_1,C₂,…, C_n

Определение:

C₁y₁(x₀) + C₂y₂(x₀) + … + C_ny_n(x₀) = y₀

C₁y₁’(x₀) + C₂y₂’(x₀) + … + C_ny_n’(x₀) = y₀’ , где y_1, y_2, y_n ФСР C₁ C₂ C_n const

………………………………………….. (5)

C₁y₁^(n-1)(x₀) + C₂y₂^(n-1)(x₀) + … + C_ny_n^(n-1) (x₀) = y₀^(n-1)

Определителем этой системы является определитель Вронского

W[y_1, y_2, … ,y_n] 0, C_1,C₂,…, C_n - определяется един-м образом

Построим = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x) ,

согласно свойству (если y₁) α₁y₁ + α₂y₂ + …+ α_ny_n = 0 причем хотя бы одно h_i 0.

- является решением ДУ(2) = y(x) , т.к. система (5) определена теми же н.у., что и y(x) ч.т.д.

Следствие:

1) максимальное число линейно-независимых решение ЛОДУ, коэффициенты непрерывны на (a,b) равно порядку этого уравнения.

2) независимо от н.у. все другие решения таких уравнений ЛОДУ является линейной комбинацией этих независимых решений (решений ФС)

3) Пространство решений ЛОДУ n-го порядка имеет базис из n-векторов, т.е. пространство n-мерное.

4) Для решения ЛОДУ n-го порядка необходимо найти ФСР. Общее решение получается как линейная комбинация решений ФС.