Распределение касательного напряжения

В сечении трубы

Выделим в жидкости, движущейся в трубе, цилиндр радиуса с длиной (рис. 7.1.).

Рис. 7.1. Равновесие сил на поверхности цилиндра

Рассмотрим силы, действующие на выделенный цилиндр. В сечении (1—1) действует сила давления , в сечении (2—2) - сила , где и давления в сечениях (1—1) и (2—2). На боковую поверхность цилиндра действует сила трения . Кроме того, имеется еще массовая сила – сила инерции равняя массе жидкости выделенного объема, умноженной на ускорение его центра тяжести со знаком «минус».

Уравнение равновесия всех этих сил в проекции на ось трубы имеет вид:

. (7.6)

Поскольку движение жидкости считается установившимся, то . Кроме того, из уравнения неразрывности следует, что , следовательно, ускорение . Действительно

.

Тогда из уравнения (7.6) баланса сил заключаем, что распределение модуля касательного напряжения по радиусу трубы будет линейным:

, (7.7)

где . В частности, модуль касательного напряжения на внутренней поверхности трубы выражается формулой

. (7.8)

Используя (7.8), распределению (7.7) можно придать следующий вид:

. (7.9)

Отсюда видно, что касательное напряжение минимально на оси трубы ( ) и максимально на внутренней поверхности трубы .

Распределение скорости жидкости в сечении трубы

Зная распределение касательного наряжения по радиусу трубы, из уравнения (7.1) можно найти распределение скорости течения жидкости. Для этого разрешим уравнение (7.1) относительно :

,

где функция, обратная функции . Кроме того, здесь учтено, что . Используя далее (7.9), получаем дифференциальное уравнение для распределения скорости :

. (7.10)

Интегрируя это уравнение по от до , и принимая во внимание условие (условие прилипания), получаем:

или

. (7.11)

Сделаем замену переменной согласно равенствам

(7.12)

учитывая, что при , ; при ; . Тогда из (7.11) получим:

(7.13)

Формула (7.13) позволяет находить закон распределения скорости жидкости по радиусу трубы при любом виде функции .

Расход жидкости

Для вычисления объемного расхода жидкости в круглой трубе учтем, что элементарный расход жидкости через кольцевое сечение, заключенное между концентрическими окружностями с радиусами и , выражается равенством

,

следовательно, полный расход представляется интегралом:

. (7.14)

Выполняя интегрирование «по частям», находим:

.

Учитывая, что и , получаем:

,

и, наконец, имеем формулу для вычисления расходаа жидкости:

. (7.15)

Ламинарное течение ньютоновской вязкой несжимаемой