Числовые характеристики ДСВ

Корреляционный момент двумерной СВ

Теорема:корреляционный момент 2-ух независимых СВ xиyравен 0.

Док-во: если независимы x,y, то независимы x-M(x)и y-M(y). По св-ву мат. ожидания Коэффициент корреляции: .

15.Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.

Пусть СВ X принимает только неотрицательные значения и у неё есть матем. Ожидание M(x), то какова бы ни была положительная величина ξ той же размерности, что и X, всегда выполняется ;

Док-во: проведем док-во только для непрерывных СВ. P(X)=0,X<0; P(X)>=0,X>=0;

;

;

; ; .

Неравенство Чебышева.

Какаво бы не было положительное число для любой СВ X, дисперсия которой конечна справедливо неравенство ;

.

16. Т.Чебышева. Т.Бернули.

Последовательность чисел наз. равномерно ограниченной, если сущ. такая константа M , . Если - последовательность попарно независимых СВ, у каждой из которых есть мат. ожидание и (дисперсии равномерно ограничены), то предел (6) -предел по вероятности.

Док-во. По условию последовательность дисперсии равномерно ограниченна, т.е. , .

Рассмотрим вспомогательные СВ . У нее есть мат. ожидание

удовл. требованиям неравенства Чебышева. Применяя неравенство (6)

(8)

(9)

Следствие из теоремы : если - последов независим. СВ имеющих одно и то же мат. ожидание и , то неравенство .(9). Примет вид (10)

Следствие из теоремы важно на практике, если нужно измерить некоторую величину, истинное значение которой , проводят измерений этой величины. Если при измерениях отсутствуют системные ошибки, то можно считать что дисперсии ограничены, тогда среднее арифм. значение рез-ов измерений с ростом n прибл. к истинному значепию измеряемой величины m . Можно положить, что .

Т.Бернули

(1) - относительная частота или частность (сходится к вер-ти)

Док-во: Пусть - число появления события A в первом испытании.

	q	p

,

Мы находимся в условиях т.Чебышева

;

т.Бернули явл. статистическим определением вероятности.

17. Теорема Ляпунова:

Можно доказать что, если - нормально распределенные случайные величины, то их сумма также норм. распред. СВ с мат. ожиданием ,

Обобщением явл. т. Ляпунова :

Пусть - независимые СВ, у каждой из которых мат. ожидание

и , абсолютный центральный момент третьего порядка и выполняется , .(3). то для суммы выполняется следующее .(4).

Следствие: если все и одинаковые, то распределена асимптотически по нормальному закону.

Физ. смысл условий, при кот. сумма будет распространяться практически по норм закону, сост. в том, что удельный вес каждого слаг. должен 0 при увеличении числа слагаемых.