Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Будем искать частные решения уравнения (2) в виде

,

где - некоторое произвольное число.

Подстановка решения в таком виде в уравнение (2) приводит к характеристическому уравнению, позволяющему найти число

. (3)

Поскольку уравнение (3) является квадратным уравнением, возможны различные частные случаи.

Случай 1. Корни и уравнения (3) действительные и различные: .

В этом случае частными решениями уравнения (2), образующими фундаментальную систему, будут функции и , а его общим решением будет функция

.

Случай 2. Корни и уравнения (3) действительные и равные: .

В этом случае в качестве фундаментальных решений уравнения (2) следует взять функции и , общим же решением будет функция

.

Случай 3. Корни и уравнения (3) комплексные: .

В этом случае частными решениями уравнения (2), образующими фундаментальную систему, будут функции комплексного переменного и , а его общим решением будет функция

.

Используя формулы Эйлера, можно перейти к фундаментальной системе функций действительного переменного

.

Тогда общее решение уравнения (2) запишется в виде

.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (выбор частных решений для некоторых функций в правой части уравнений, метод вариации постоянных).

I. Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

, (1)

где - постоянные, - некоторая функция.

II.Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно получить как сумму общего решения однородного уравнения и какого-либо решения неоднородного уравнения, т.е.

,

где - фундаментальная система решений однородного уравнения.

В некоторых специальных случаях есть некоторые правила поиска частного решения (метод неопределенных коэффициентов).

Случай 1. , где - многочлен степени .

А. Если не является корнем характеристического уравнения

, (2)

то частное решение следует искать в виде

,

где - многочлен n-ой степени с произвольными коэффициентами.

Б. Если - корень уравнения (2) кратности , то частное решение ищут в виде .

Случай 2. .

А. Если числа не являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение следует искать в виде

,

где и - произвольные постоянные.

Б. Если числа являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение ищут в виде

.

Замечание. В случаях или частное решение по-прежнему следует искать в указанном полном виде.

Случай 3. , где и - многочлены степени m и n, соответственно.

А. Если не являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение следует искать в виде

,

где и - многочлены с произвольными коэффициентами степени .

Б. Если являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение ищут в виде

.

Для нахождения частного решения уравнения (1) в общем случае можно воспользоваться методом вариации постоянных (методом Лагранжа).

Рассмотрим общее решение однородного уравнения

.

Частное решение неоднородного уравнения (1) ищется в виде

,

где и - дифференцируемые функции, которые находятся путем решения системы дифференциальных уравнений

Замечание. Пусть мы имеем уравнение , где . Если функции и являются решениями соответственно уравнений и , то функция - решение уравнения .